ブール代数の紹介

数学的規則は、扱われる特定の数値に課す定義上の制限に基づいています。

1 + 1 =2または3+ 4 =7と言うときは、整数の量を使用していることを意味します。これは、初等教育で数えることを学んだのと同じ種類の数です。

ほとんどの人が自明の算術規則であると想定していること（常に、あらゆる目的で有効）は、実際には、数値を定義する内容によって異なります。

たとえば、AC回路の数量を計算する場合、DC回路の分析で非常に役立つ「実数」の数量は、AC数量を表すタスクには不十分であることがわかります。

直列に接続すると電圧が加算されることはわかっていますが、3ボルトのAC電源を4ボルトのAC電源と直列に接続して、最終的に5ボルトの合計電圧になる可能性があることもわかっています（3 + 4 =5）。

これは、不可侵で自明の算術規則に違反したことを意味しますか？

いいえ、それは単に「実数」の規則がAC回路で遭遇する種類の量には適用されないことを意味します。AC回路では、すべての変数に大きさと位相の両方があります。

したがって、AC回路（複合体）には、異なる種類の数値またはオブジェクトを使用する必要があります。 実際のではなく数字数字）、そしてこの異なる数字のシステムとともに、それらが互いにどのように関連しているかを示す異なる一連の規則があります。

「3+ 4 =5」などの式実数の範囲と定義には意味がありませんが、複素数の範囲と定義にはうまく適合します（3と4の反対側と隣接する辺、斜辺が5の直角三角形を考えてみてください）。

複素数は2次元であるため、1次元の実数として三角測量で互いに「加算」することができます。数字はできません。

論理は、この点で数学によく似ています。論理のいわゆる「法則」は、命題が何であるかをどのように定義するかに依存します。

ギリシャの哲学者アリストテレスは、真と偽の2種類の命題のみに基づいて論理システムを確立しました。

彼の二価（2モード）の真理の定義は、論理の4つの基本法則につながりました：同一性の法則 （AはAです）; 無矛盾律 （Aは非Aではありません）; 排中律 （Aまたは非Aのいずれか）;および合理的推論の法則 。

これらのいわゆる法則は、命題が2つの可能な値のいずれかに制限される論理の範囲内で機能しますが、命題が「真」または「偽」以外の値を保持できる場合には適用されない場合があります。

実際、多くの作業が行われ、「多値」またはファジーで引き続き行われています。論理。命題が限られた程度で真または偽になる可能性があります。。

このような論理体系では、排中律などの「法則」は、二値原理に基づいているため、単純に適用されません。

同様に、アリストテレスの論理における無矛盾律に違反するであろう多くの前提は、「ファジー」論理において妥当性を持っています。繰り返しますが、命題値の定義限界は、それらの機能と関係を説明する法則を決定します。

イギリスの数学者ジョージブール（1815-1864）は、アリストテレスの論理システムに象徴的な形を与えようとしました。

ブールは1854年に、この主題に関する論文を「思考の法則の調査」と題して執筆しました。この論文には、論理と確率の数学的理論が基づいています。 、2つの可能な値の1つに制限された数学的量の間の関係のいくつかの規則を成文化しました：真または偽、1または0。

彼の数学システムはブール代数として知られるようになりました。

ブール値を使用して実行されるすべての算術演算には、 1または0 の2つの可能な結果のうちの1つしかありません。。

「 2 」のようなものはありません」または「 -1 」または「 1/2 」はブール値の世界です。それは他のすべての可能性がフィアットによって無効になっている世界です。

ご想像のとおり、これは小切手帳のバランスをとったり、抵抗器を流れる電流を計算したりするときに使用したい種類の数学ではありません。

しかし、MITで有名なClaude Shannonは、ブール代数をオン/オフ回路に適用する方法を認識していました。、ここで、すべての信号は「高」として特徴付けられます。」（1）または「低」（0）。

彼の1938年の論文は、リレーとスイッチング回路のシンボリック分析と題されています。、ブールの理論的研究をブールが想像もしなかった方法で使用することで、デジタル回路を設計および分析するための強力な数学的ツールを提供します。

この章では、ブール代数と「通常の」代数、いわゆる実数を含む代数の間に多くの類似点があります。

ブール代数を定義する数値のシステムはスコープの点で厳しく制限されており、ブール変数には1または0の2つの可能な値のうちの1つしか存在できないことに注意してください。

その結果、ブール代数の「法則」は実数代数の「法則」とは異なることが多く、通常はばかげていると見なされる1 + 1 =1などのステートメントが可能になります。

ブール代数のすべての量が1と0の2つの可能性に制限されているという前提と、量的定義に依存する法の一般的な哲学的原理を理解すると、ブール代数の「ナンセンス」は消えます。

この章では、ブール代数と「通常の」代数、いわゆる実数を含む代数の間に多くの類似点があります。

ブール値は 2進数と同じではないことを明確に理解する必要があります数字。

ブール数は実数とはまったく異なる数学のシステムを表しますが、2進数は実数の代替表記にすぎません。

ブール数学と2進表記の両方が、同じ2つの暗号（1と0）を使用するため、この2つは混同されることがよくあります。

違いは、ブール値が1ビット（1または0）に制限されているのに対し、2進数は、場所加重形式で任意の有限サイズの値に加算される多くのビットで構成されている可能性があることです。

2進数10011 ₂ （「19」）は、ブール値の世界で10進数の2 ₁₀よりも場所がありません。（「2」）または8進数32 ₈ （「26」）。

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