インダクタと微積分

インダクタには、導体のように安定した「抵抗」がありません。ただし、インダクタの電圧と電流の間には、次のように明確な数学的関係があります。

コンデンサの章からこの式の形式を認識する必要があります。これは、1つの変数（この場合はインダクターの電圧降下）を変化率に関連付けます。 別の変数（この場合、インダクタ電流）の。電圧（v）と電流変化率（di / dt）の両方が瞬時 ：つまり、特定の時点に関連して、小文字の「v」と「i」。

コンデンサの式と同様に、瞬時電圧を v として表すのが一般的です。 e ではなく 、しかし後者の指定を使用することは間違いではありません。現在の変化率（di / dt）は、1秒あたりのアンペアの単位で表され、正の数は増加を表し、負の数は減少を表します。

コンデンサのように、インダクタの動作は時間の変数に根ざしています。インダクタのワイヤコイルに固有の抵抗（このセクションではゼロと仮定します）を除けば、インダクタの端子間で降下する電圧は、電流が時間とともに変化する速度に純粋に関係しています。

可変抵抗器として接続されたポテンショメータを使用して、完全なインダクタ（ワイヤ抵抗がゼロオームのインダクタ）を回路に接続し、それを流れる電流の量を変えることができると仮定します。

ポテンショメータメカニズムが単一の位置にある場合（ワイパーが静止している場合）、直列接続された電流計は一定の（変化しない）電流を記録し、インダクタの両端に接続された電圧計は0ボルトを記録します。このシナリオでは、電流が安定しているため、電流の瞬間的な変化率（di / dt）はゼロに等しくなります。

この式は、di / dtの1秒あたりの変化が0アンペアの場合、インダクタの両端の瞬時電圧（v）がゼロでなければならないことを示しています。物理的な観点からは、電流は変化せず、インダクタによって安定した磁場が生成されます。磁束に変化がない場合（dΦ/ dt =0ウェーバー/秒）、誘導によってコイルの長さ全体に電圧降下が発生することはありません。

ポテンショメータワイパを「上」方向にゆっくり動かすと、端から端までの抵抗がゆっくりと減少します。これは回路の電流を増加させる効果があるため、電流計の表示はゆっくりと増加するはずです：

ポテンショメータワイパーがレートになるように移動していると仮定します。 インダクタを流れる電流の増加が安定している場合、式のdi / dt項は固定値になります。この固定値にヘンリーのインダクタのインダクタンスを掛けると（これも固定）、ある程度の大きさの固定電圧が得られます。物理的な観点からは、電流が徐々に増加すると、同様に増加する磁場が発生します。

磁束がこのように徐々に増加すると、マイケルファラデーの誘導方程式e =N（dΦ/ dt）で表されるように、コイルに電圧が誘導されます。コイルを流れる電流の大きさが徐々に変化する結果として、コイルにかかるこの自己誘導電圧は、電流の変化に対抗しようとする極性になります。言い換えると、増加に起因する誘導電圧極性 現在、に対してプッシュするように方向付けられます 電流の方向。電流を以前の大きさに保とうとします。

この現象は、レンツの法則として知られる物理学のより一般的な原理を示しています。 、これは、誘発された効果は常にそれを生み出す原因とは反対であると述べています。

インダクタ電流、電圧対時間

このシナリオでは、インダクタは負荷として機能します。 、電子が入る端の誘導電圧の負の側と、電子が出る端の誘導電圧の正の側で。

ポテンショメータワイパーをさまざまな速度で「上」に動かすことによってインダクタを流れる電流の増加率を変更すると、インダクタの両端でさまざまな量の電圧が降下し、すべて同じ極性になります（電流の増加に対抗します）：

ここでも、導関数が表示されます。 インダクタの振る舞いで示される微積分の機能。微積分学の用語では、インダクタの両端の誘導電圧は、インダクタを流れる電流の導関数であると言えます。つまり、時間に対する電流の変化率に比例します。

ポテンショメータのワイパーの動きの方向を逆にすると（「上」ではなく「下」になる）、エンドツーエンドの抵抗が増加します。これにより、回路電流が減少します（負 di / dtの図）。インダクタは、常に電流の変化に対抗し、変化の方向とは反対の電圧降下を生成します。

もちろん、インダクタが生成する電圧の大きさは、インダクタを流れる電流がどれだけ急速に減少するかに依存します。レンツの法則で説明されているように、誘導電圧は電流の変化に対抗します。 減少 電流の場合、電圧の極性は、電流を以前の大きさに保とうとするように方向付けられます。

このシナリオでは、インダクタはソースとして機能します。 、電子が出る端の誘導電圧の負の側と、電子が入る端の誘導電圧の正の側で。電流が急速に減少するほど、電流を一定に保とうとするために蓄積されたエネルギーを放出する際に、インダクタによってより多くの電圧が生成されます。

この場合も、完全なインダクタの両端の電圧の量は、インダクタを流れる電流の変化率に正比例します。 減少の効果の唯一の違い 現在および増加 電流は極性です 誘導電圧の。

時間の経過に伴う同じ電流変化率（増加または減少）の場合、電圧の大きさ（ボルト）は同じになります。たとえば、毎秒-2アンペアのdi / dtは、ちょうど反対の極性で、毎秒+2アンペアのdi / dtと同じ量の誘導電圧降下をインダクタに生成します。

インダクタを流れる電流が非常に急速に変化すると、非常に高い電圧が発生します。次の回路を考えてみましょう：

この回路では、インダクタの端子間にランプが接続されています。スイッチは回路の電流を制御するために使用され、電力は6ボルトのバッテリーから供給されます。スイッチを閉じると、インダクタは電流のゼロからある大きさへの変化に一時的に対抗しますが、電圧はわずかしか低下しません。

このようにネオン管内のネオンガスをイオン化するのに約70ボルトかかるため、バッテリーによって生成された6ボルト、またはスイッチが閉じているときにインダクターによって瞬間的に低下した低電圧で電球を点灯することはできません。

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ただし、スイッチを開くと、突然、回路に非常に高い抵抗（接点間のエアギャップの抵抗）が導入されます。この突然の高抵抗の回路への導入により、回路電流はほぼ瞬時に減少します。数学的には、di / dt項は非常に大きな負の数になります。

このような電流の急激な変化（非常に短い時間である程度の大きさからゼロへ）は、この電流の減少に対抗するために、インダクタの両端に非常に高い電圧を誘導し、左側が負、右側が正になります。生成される電圧は、電流がゼロに減衰するまでのほんの一瞬であるとしても、通常、ネオンランプを点灯するのに十分すぎるほどです：

最大限の効果を得るには、インダクタのサイズをできるだけ大きくする必要があります（少なくとも1ヘンリーのインダクタンス）。

関連するワークシート：

• 電気回路の微積分ワークシート
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