リアクティブDC回路における電圧と電流の計算

リアクティブDC回路において、電圧と電流が時間とともにどう変化するかを正確に決定できます。

リアクティブDC回路での値計算

まず、リアクティブコンポーネントが変化を拒む量（コンデンサなら電圧、インダクタなら電流）の初期値と最終値を確立します。スイッチが切り替わると、そのコンポーネントは遷移直前のレベル近くでその量を保持しようとし、それが出発点となります。

最終値は無限時間後の定常値です。コンデンサの場合、回路をコンデンサ＝開放回路としてモデル化し、インダクタの場合はインダクタ＝短絡回路としてモデル化します。これらの表現から定常電圧または電流がわかります。

次に、回路の時定数を計算します。これは過渡現象中に量が初期値から最終値へ約63%移行する期間です。直列RC回路では τ = R × C、直列L/R回路では τ = L / R です。時定数は秒で測られ、ギリシャ文字 τ（タウ）で表されます。

 

 

過渡応答における電圧と電流は、最終値に漸近的に近づく指数曲線に従います。1τ後、量は目標へ約63%近づきます。正確な割合は：

 

 

オイラーの定数 e（≒2.71828）を用いると、nτ後の変化率は：

 

 

2τ後：

 

 

10τ後：

 

 

時間が経つにつれ指数項の分数部分が縮み、全体の式は1（100%）に近づきます。

万能時定数公式

簡潔な計算のために、指数項に最終値と初期値の差を掛けます：

 

これを先の直列RC回路に適用してみます。

 

コンデンサは電圧変化を拒むため、電圧を直接解析します。抵抗10kΩ、コンデンサ100µFで τ = 10kΩ × 100µF = 1秒。

 

コンデンサが放電済み（0V）で電池が15Vを供給すると仮定すると、万能公式は：

 

7.25秒後の電圧上昇は：

 

 

したがってコンデンサは7.25秒で14.989Vに達します。

同じ式で電流も求められます。新品放電コンデンサは短絡として振る舞うため、初期電流は 15V / 10kΩ = 1.5mA。最終電流はコンデンサが開放回路になるためゼロです。

 

公式適用で –1.4989mA の変化、7.25秒後の電流は 1.065µA となります。

あるいは、コンデンサ電圧を電池電圧から引きオームの法則適用：I = (15V – 14.989V) / 10kΩ = 1.065µA で一致確認できます。

 

万能時定数公式を誘導回路に適用

同じアプローチでRL回路も解析できます。例のL/R回路で L=1H、R=1Ω とすると τ = L/R = 1秒。

 

ここではリアクティブ要素が電流変化を拒みます。スイッチ開放時から始めると電流ゼロ。長時間後は定常電流 V/R = 15A。

3.5秒後の電流を万能公式で求めます：

 

初期電流ゼロなので、3.5秒後の電流は 14.547A です。

インダクタ電圧は電源電圧から抵抗降下を引いて求めます。単一1Ω抵抗なので降下は14.547V、インダクタ電圧は3.5秒で0.453Vとなります。

 

 

復習

• 万能時定数公式：ΔQ = (Q_final – Q_initial) · (1 – e^(–t/τ))
• RC/RL解析手順：
• 1. τを計算（RCまたはL/R）。
• 2. リアクティブ量を特定（コンデンサ→電圧、インダクタ→電流）。
• 3. 初期値と最終値を決定。
• 4. 値を万能公式に代入し変化量を解く。
• 5. 初期値がゼロなら計算変化量が時刻tでの量、そうでなければ初期値に変化量を加算。

関連ワークシート

• 時定数回路ワークシート
• 時定数計算ワークシート

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