自然対数の底eの指数関数の微分
eの微分例
比例定数
ある関係や現象が「指数的」であると言うとき、量の変化率がその量自身に比例して増大することを意味します。したがって、指数関数の微分は、元の関数にこの比例性を表す定数（k）を掛けたものになります。
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = k a^x$$
比例定数は単純に底の自然対数です：
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = \ln(a)\times a^x$$
底が自然数 e のとき、ln(e) = 1 なので、e^x の微分は e^x そのものになります：
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^x = e^x$$
「連鎖」律
指数がより複雑な式の場合、連鎖律を適用します：外側の指数関数を微分し、内側の関数の微分を掛けます。
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\times\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$
この技術は、ダイオード電流の電圧に対する感度評価に役立ちます。ショックレーのダイオード方程式は、ダイオード両端電圧（V_D）とそれを流れる電流（I_D）の近似関係を与えます：
$$I_D = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}$$
（「ダイオードと整流器」ページを参照；I_S は定数で変数ではないことに注意）電流が電圧とともにどう変化するかを知るには微分します：
$$\frac{\text{d}I_D}{\text{d}V_D} = \frac{\text{d}}{\text{d}V_D}\bigl(I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}\bigr) = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}} \times \frac{1}{0.026}$$
したがって、特定の V_D において、電圧の微小増加は電流を (I_S/0.026) e^{V_D/0.026} だけ増加させます。
関連ワークシート：
- 電気回路のための微積分ワークシート
産業技術