フォトニック分子キャビティオプトメカニカルシステムにおける調整可能な光バイスタビリティと四波混合

要旨

複合フォトニック分子キャビティオプトメカニカルシステムにおける非線形光学現象、すなわち光バイスタビリティと四波混合（FWM）過程を理論的に調査した。フォトニック分子キャビティは2つのささやきギャラリーモード（WGM）マイクロキャビティで構成され、一方は高キャビティ損失κを持つオプトメカニカルキャビティ、もう一方は高品質因子（Q）を持つ通常の光学キャビティである。システムパラメータ、すなわち2つのキャビティ間の結合強度J、2つのキャビティの減衰率比δ、ポンプパワーPを制御することで、光バイスタビリティを制御可能である。さらに、異なるパラメータ領域下でのFWMスペクトルにおける正常モード分裂を呈するFWM過程も調査した。本研究は、複合フォトニック分子オプトメカニカルシステムにおける非線形現象の更なる理解を提供する可能性がある。

背景

オプトメカニカルシステム（OMS）[1]は、光学キャビティと機械共振器が結合し、放射圧誘起のコヒーレントな光子-フォノン相互作用を探求するもので、機械共振器と電磁場の操作プラットフォームを提供し、フォノンレーザー[2,3]、センシング[4]、フォノン絞り[5]、絞り光の実現[6-8]、基底状態冷却[9-11]、オプトメカニカル誘起透明性（OMIT）[12-15]による固体デバイスでの光記憶[16,17]などの潜在的応用への道を開くため、近年多くの注目を集めている。単一OMSへの注目が大半を占めるが、放射圧による1つの機械モードと2つの光学モードの結合[18,19]や、2つの機械共振器間のフォノン相互作用[20,21]など、より多くの光学的または機械的モードを統合した複合OMSの実現が、OMSと量子情報処理への応用をさらに探求する傾向となっている。複合OMSに基づき、量子状態転送[22]、OMIT様フォノン冷却[23]、オプトメカニカルダークモード[24]、フォノン媒介電磁誘起吸収[25]が広く研究されている。多数の複合OMSの中でも、一般的なOMSの自然な拡張として、オプトメカニカル効果を持つ1つのWGMマイクロキャビティを有する、直接結合した2つのWGMマイクロキャビティ（フォトニック分子と呼ばれる[26,27]）が多くの注目を集めている。複合フォトニック分子オプトメカニカルシステムには2種類の相互作用がある：第1は放射圧によるオプトメカニカル相互作用、第2は調整可能な光子トンネリングによるキャビティ-キャビティ結合である。これら2つの相互作用が合わさって、フォノンレーザー[2,3]、カオス[28]、基底状態冷却[23]、光透過のコヒーレント制御[25,29,30]など、いくつかの興味深い現象を生じさせる。

一方、OMSは光-物質相互作用の非線形効果を調査するプラットフォームも提供する。OMSにおける全ての非線形現象の中で、光バイスタビリティと四波混合（FWM）は研究者の関心を集める典型的な非線形光学現象である。近年、様々なOMSにおける平均キャビティ内光子数のバイスタビリティ挙動が広く研究されており、ボーズ・アインシュタイン凝縮キャビティOMS[31,32]、量子井戸を持つOMS[33]、超低温原子[34,35]、その他のハイブリッドOMS[36,37]などがある。また、FWMは強力なポンプレーザー（周波数ω_p）と弱いプローブレーザー（周波数ω_s）でキャビティを駆動し、2つのポンプ光子が機械モードを介してプローブ光子と混合し、周波数2ω_p-ω_sでアイドラー光子を生成する過程として記述され、強い結合OMSでのモード分裂[38]、コヒーレント機械駆動OMS[39,40]、二モードキャビティOMS[41]などでも調査されている。しかし、複合フォトニック分子OMSでは、2つのキャビティの結合強度Jがこれらの非線形光学現象に影響を与える鍵となるパラメータであるにもかかわらず、光バイスタビリティとFWMはほとんど研究されていない。

本研究では、2つのWGMマイクロキャビティで構成される複合フォトニック分子キャビティオプトメカニカルシステムを考察する。一方のWGMキャビティは高キャビティ損失κを持つオプトメカニカルキャビティcであり、もう一方のWGMキャビティは高品質因子（Q）を持つ補助的な通常の光学キャビティaである[42]。Liuら[43]が示したように、同じタイプの共振器で高Q因子と小さなモード体積（V）を同時に達成することは困難である。フォトニック分子オプトメカニクスでは、もともと高キャビティ損失を持つオプトメカニカルキャビティc（高Qを持たない）を、高Qだが大きなVを持つ補助キャビティモードaと結合させることで、同じキャビティに高Qと小さなVの両方を要求する必要を除去できる。比パラメータδ=κ_c/κ_aを導入し、ここでκ_c=ω_c/Q_c、κ_a=ω_a/Q_aはキャビティモードcとaの減衰率（ω_cとω_aはキャビティcとaの周波数）である。ここでは、オプトメカニカルキャビティcをポンプレーザーで駆動し、補助キャビティaをプローブレーザーで駆動する。キャビティcはエバネッセント場を介してキャビティaと結合し、2つのキャビティ間の結合強度Jは2つのWGMキャビティ間の距離を変えることで制御可能である[26]。複合フォトニック分子OMSに基づき、2つのキャビティ共振器間の結合強度Jを変化させることで光バイスタビリティとFWMを調査し、調整可能で制御可能な光バイスタビリティとFWMが、2つのキャビティ間の結合強度Jを操作することで達成できることを示す。さらに、パラメータδとポンプパワーPを調整することで、FWM過程を制御できる。

モデルと理論

フォトニック分子オプトメカニクスをFig. 1に示す。第1キャビティは、ポンプレーザー（周波数ω_p、振幅ε_p=√(P/ħω_p)）で駆動される光学モードc（周波数ω_c）を支持する。放射圧は機械モードb（機械共振器周波数ω_m）を誘起し、単一光子オプトメカニカル結合率はg=g₀x₀（g₀=ω_c/R、Rはキャビティcの半径）、機械振動子位置の零点揺らぎはx₀=√(ħ/2Mω_m）[13]である。オプトメカニクスcのハミルトニアンは[13]

複合フォトニック分子キャビティオプトメカニカルシステムの概略図。高キャビティ損失κを持つ第1WGMキャビティはポンプレーザーで駆動されるオプトメカニカルキャビティcであり、放射圧力が機械モードbを誘起し、結合強度gでキャビティcと結合する。第2WGMキャビティaは高品質因子（Q）を持つ補助キャビティでプローブレーザーで駆動される。オプトメカニカルキャビティcはエバネッセント場を介してキャビティaと結合し、2つのキャビティの結合強度を記述するパラメータJを導入し、これはそれらの間の距離を変えることで制御可能[26]

$$ H_{c}=\hbar \Delta_{c}c^{\dag }c+\hbar \omega_{m}b^{\dag }b-\hbar ga^{\dag }a\left(b^{\dag }+b\right)+i\hbar \sqrt{\kappa_{ce}}\varepsilon_{p}\left(c^{\dag }-c\right), \tag{1} $$

ここでΔ_c=ω_c-ω_pはポンプ場とキャビティcのデチューニング。cとc†はキャビティモードcのボゾン消滅・生成演算子、b†（b）は機械モードの生成（消滅）演算子。補助キャビティはプローブレーザー（周波数ω_s）で駆動される光学モードaのみを支持し、その振幅ε_sはε_s=√(P_s/ħω_s)である。キャビティaを記述する消滅・生成演算子aとa†を導入し、そのハミルトニアンは[13]

$$ H_{a}=\hbar \Delta_{a}a^{\dag }a+i\hbar \sqrt{\kappa_{ae}}\varepsilon_{s}\left(a^{\dag }e^{-i\Omega t}-ae^{i\Omega t}\right) \tag{2} $$

ここでΔ_a=ω_a-ω_pはポンプ場とキャビティaのデチューニング、Ω=ω_s-ω_pはポンプ-プローブデチューニング。2つのテーパーファイバーでキャビティモードaとcを励起し、結合率κ_aeとκ_ceを持つ光波導として用いる。オプトメカニカルキャビティcはエバネッセント場を介してキャビティaと結合し、キャビティ-キャビティ結合率Jはそれらの間の距離を変えることで効率的に調整可能[26]。結合強度Jが2つのキャビティ間で弱い場合、キャビティcからのエネルギーはキャビティaへ容易には移転できない。逆に、2つのキャビティ間の距離を減らして結合強度Jが増加すると、エネルギーは2つのキャビティ間で容易に流れる。2つのキャビティ間の線形結合相互作用は[26] ħJ(a†c+ac†)で記述される。ポンプ周波数ω_cの回転波フレームでの全ハミルトニアンは[3,13,23]

$$ \begin{aligned} H =&\hbar \Delta_{a}a^{\dag }a+\hbar \Delta_{c}c^{\dag }c+\hbar \omega_{m}b^{\dag }b+\hbar J\left(a^{\dag }c+ac^{\dag }\right)-\hbar ga^{\dag }a\left(b^{\dag }+b\right) \\ &+i\hbar \sqrt{\kappa_{ce}}\varepsilon_{p}\left(c^{\dag }-c\right)+i\hbar \sqrt{ \kappa_{ae}}\varepsilon_{s}\left(a^{\dag }e^{-i\Omega t}-ae^{i\Omega t}\right). \end{aligned} \tag{3} $$

2つのキャビティモードの減衰率κ=κ_c=κ_a=κ_ex+κ_0（固有光子損失率κ_0）、κ_exは光学キャビティから伝播場へエネルギーが出て行く率[13]。ここでは簡単のため、κ_ex=κ_0=κ_ae=κ_ceの条件のみを考慮し、ω_c=ω_aとみなす。

ハイゼンベルグ運動方程式iħ∂_tO=[O,H]（O=a,c,X）を用い、対応する減衰とノイズ演算子を導入し、量子ランゲバン方程式を得る[44]：

$$ \partial_{t}a=-(i\Delta_{a}+\kappa_{a})a-iJc+\sqrt{\kappa_{ae}} \varepsilon_{s}e^{-i\Omega t}+\sqrt{2\kappa_{a}}a_{\text{in}}, \tag{4} $$ $$ \partial_{t}c=-(i\Delta_{c}+\kappa_{c})c+igcX-iJa+\sqrt{\kappa_{ce}} \varepsilon_{p}+\sqrt{2\kappa_{c}}c_{\text{in}}, \tag{5} $$ $$ \partial_{t}^{2}X+\gamma_{m}\partial_{t}X+\omega_{m}^{2}X=2g\omega_{m}c^{\dagger }c+\xi, \tag{6} $$

ここでX=b†+bは位置演算子、γ_mは共振器の減衰率。a_inとc_inはランゲバンノイズを記述し、以下の関係に従う[45]：

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} \left\langle a_{\text{in}}(t)a_{\text{in}}^{\dagger }\left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle &=&\left\langle c_{\text{in}}(t)c_{\text{in}}^{\dagger }\left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle =\delta\left(t-t^{^{\prime }}\right), \end{array} \tag{7} $$ $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \left\langle a_{\text{in}}(t)\right\rangle &=&\left\langle c_{\text{in}}(t)\right\rangle =0. \end{array} \tag{8} $$

共振器モードは以下の相関関数を持つ確率的力プロセスの影響を受ける[46]：

$$ \left\langle \xi^{\dagger }(t)\xi \left(t^{^{\prime }}\right)\right\rangle \,=\,\frac{ \gamma_{m}}{\omega_{m}}\int\! \frac{d\omega }{2\pi }\omega e^{-i\omega \left(t-t^{^{\prime }}\right)}\left[1\,+\,\coth \left(\frac{\hbar \omega }{2\kappa_{B}T}\right)\right], \tag{9} $$

ここでk_Bはボルツマン定数、Tは貯蔵庫温度を示す。

オプトメカニカルキャビティcが強いポンプレーザーで駆動されるとき、ハイゼンベルグ演算子は定常状態平均値O_0と、平均値ゼロの微小変動δO（〈δO〉=0）の2部分に分割できる。定常状態値はキャビティ内光子数（n_a=|a_s|²、n_c=|c_s|²）を決定し、これらは以下で与えられる：

$$ n_{c}=\frac{\kappa_{ce}\varepsilon_{p}^{2}\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right) }{\left(\Delta^{^{\prime }2}+\kappa_{c}^{2}\right)\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right)+2J^{2}\left(\kappa_{a}\kappa_{c}-\Delta^{^{\prime }}\Delta_{a}\right)+J^{4}}, \tag{10} $$ $$ n_{a}=\frac{\kappa_{ce}\varepsilon_{p}^{2}J^{2}}{\left(\Delta^{^{\prime }2}+\kappa_{c}^{2}\right)\left(\Delta_{a}^{2}+\kappa_{a}^{2}\right)+2J^{2}\left(\kappa_{a}\kappa_{c}-\Delta^{^{\prime }}\Delta_{a}\right)+J^{4}}, \tag{11} $$

ここでΔ' = Δ_c - 2g²n_c/ω_m。この連立方程式の形は光バイスタビリティの特徴である。以下のセクションでは、ポンプパワーP、キャビティ-キャビティ結合強度J、比パラメータδなど、光バイスタビリティに影響を与えるパラメータについて議論する。変動演算子の線形項のみを保持し、アンザッツ[47] 〈δa〉=a_+e^{-iΩt}+a_-e^{iΩt}、〈δc〉=c_+e^{-iΩt}+c_-e^{iΩt}、〈δX〉=X_+e^{-iΩt}+X_-e^{iΩt}を用いると、以下を得る：

$$ a_{-}=\frac{\Lambda_{1}}{\Lambda_{2}-\Lambda_{3}}, \tag{12} $$

ここでΛ₁=igc_s²η*J²ε_s√κ_ae、Λ₂=(iΔ_a2+κ_a)(iΔ_2+κ_c)[(iΔ_1-κ_c)(iΔ_a1-κ_a)-J²]、Λ₃=-g²η*²n_c²(iΔ_a1-κ_a)(iΔ_a2+κ_a)、Δ_a1=Δ_a-Ω、Δ_a2=Δ_a+Ω、Δ_1=Δ'-Ω+gηn_c、Δ_2=Δ'+Ω+gη*n_c、η=2gω_m/(ω_m²-iγ_mΩ-Ω²)。標準的な入出力関係[45] a_out(t)=a_in(t)-√(2κ_a)a(t)を用い、出力場の期待値を得る：

$$ {\begin{aligned} a_{\text{out}}(t)&=(\varepsilon_{p}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{s})e^{-i\omega_{p}t}+(\varepsilon_{s}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{+})e^{-i(\delta +\omega_{p})t}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{-}e^{-i(\delta -\omega_{p})t} \\ &=(\varepsilon_{p}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{s})e^{-i\omega_{p}t}+(\varepsilon_{s}-\sqrt{\kappa_{ae}}a_{+})e^{-i\omega_{s}t}-\sqrt{\kappa_{ae}} a_{-}e^{-i(2\omega_{p}-\omega_{s})t} \end{aligned}} \tag{13} $$

ここでa_out(t)は出力場演算子。式(13)は出力場が3項からなることを示す。第1項は振幅ε_p、周波数ω_pの駆動場に対応する出力場。第2項はOMITをもたらすアンチストークス場に関連するプローブ場（周波数ω_s）に対応し、様々なオプトメカニカルシステムで調査されている[12-15,48]。最後の項はストークス場に関連する、周波数2ω_p-ω_sの出力場に対応し、FWMを示す。FWM過程では、駆動場の2光子がプローブ場の1光子と相互作用し、周波数ω_pとω_sを持つそれぞれが、新しい光子（周波数2ω_p-ω_s）を生成する。プローブ場で表されるFWM強度は[49]以下で定義できる：

$$ \text{FWM}=\left\vert \frac{\sqrt{\kappa_{ae}}a_{-}}{\varepsilon_{s}}\right\vert^{2}, \tag{14} $$

これはオプトメカニカル結合強度g、ポンプパワーP、キャビティ-キャビティ結合強度J、2つのキャビティの減衰率比δによって決定される。

数値結果と考察

このセクションでは、まず式(10)と(11)に従って、2つのキャビティの定常状態光子数n_cとn_aのバイスタビリティ挙動を調査する。バイスタビリティ条件の解析式を与えるのは煩雑すぎるため、ここでは数値結果を提示する。Ref. [13,26]と類似のパラメータを選択：キャビティcのパラメータ[13]：g₀=12 GHz/nm、γ_m=41 kHz、ω_m=51.8 MHz、κ_c=5 MHz、m=20 ng、λ=750 nm、Q=1500、ポンプパワーのオーダーはミリワット（1 mW=10⁻³ W）。キャビティaについてはω_a=ω_c、κ_c=κ_aを考慮。2つのキャビティモード間の結合強度Jは鍵となる役割を果たし、バイスタビリティ挙動とFWMに影響を与える。実験的に、結合強度Jはキャビティcとaの間の距離に依存することが報告されている[26]（また結合強度は2つのキャビティの距離増加に伴い指数関数的に減少する）。ここではJ∼√(κ_cκ_a)のオーダーを期待する。

式(10)と(11)で与えられるオプトメカニカルキャビティcと通常キャビティaのキャビティ内光子数は連立3次方程式であり、バイスタビリティ挙動を示す。まずJ=0、すなわち単一オプトメカニカルキャビティcのみの条件を考慮し、Fig. 2aに3つのポンプパワーでのキャビティ-ポンプデチューニングΔ_c=ω_c-ω_pの関数としてのオプトメカニカルキャビティcの平均キャビティ内光子数n_cをプロット。ポンプパワーがP=0.4 mW未満（P=0.1 mWなど）の場合、曲線はほぼローレンツ型。パワーPを臨界値まで増加させると、オプトメカニカルキャビティcはバイスタビリティ挙動を示し、P=0.4 mWからP=0.8 mWの曲線で、当初のローレンツ共鳴曲線が非対称になる。平均キャビティ内光子数n_cは3つの実数解を持ち（式(10)）、最大と最小の解は安定、中間の解は不安定で、Fig. 2aの楕円で表される。しかし、光学キャビティaを考慮する、すなわちJ≠0（J=1.0κ_aなど）とすると、バイスタビリティ挙動はある意味で破壊される（Fig. 2b）。これはオプトメカニカルキャビティcが光学キャビティaと結合すると、オプトメカニカルキャビティcのキャビティ内光子数n_cの一部が光学キャビティaへ結合するため、n_cが減少し、バイスタビリティ挙動が破壊される結果となる。Fig. 2cは3つのポンプパワーでの結合強度Jの関数としてのオプトメカニカルキャビティcの平均キャビティ内光子数n_cを示す。明らかに、平均キャビティ内光子数n_cはポンプパワーPに依存し、結合強度Jの増加とともに常に減少する。なぜなら光子数の一部が光学キャビティaへ結合するためである。さらに、大きなキャビティ-ポンプデチューニングは、ポンプパワーP増加に伴う光バイスタビリティ挙動の観測に有利である。Fig. 2dはキャビティaが赤サイドバンド（Δ_a=ω_m）と青サイドバンド（Δ_a=-ω_m）のそれぞれで、ポンプパワーPの関数としての平均キャビティ内光子数n_cをプロットし、バイスタビリティはヒステリシスループ挙動を示す[50]。しかし、我々の結果はキャビティ-キャビティ結合Jを考慮しない二モードオプトメカニカルシステムの先行研究[38]とは異なる。したがって、結合強度Jはバイスタビリティにおいて重要な役割を果たす。

a J=0での3つのポンプパワーにおけるキャビティ-ポンプデチューニングΔ_cの関数としてのオプトメカニカルキャビティcの平均キャビティ内光子数。b J=1.0κ_aでのいくつかの異なるポンプパワーにおけるΔ_cの関数としての平均キャビティ内光子数。c 3つのポンプパワーでのJの関数としてのオプトメカニカルキャビティcの平均キャビティ内光子数n_c。d Δ_c=Δ_a=ω_mでのPの関数としての平均キャビティ内光子数n_c

さらに式(11)に基づき、通常キャビティaのバイスタビリティ挙動を調査。Fig. 3aはJ=1.0κ_aで、ポンプパワーP=0.1 mW、1.0 mW、10 mWでのキャビティ-ポンプデチューニングΔ_a=ω_a-ω_pの関数としての通常キャビティaのキャビティ内光子数n_aを示す。明らかに、低ポンプパワーではキャビティcからのキャビティ内光子数n_aがバイスタビリティを維持できないため、光学キャビティaはバイスタビリティ挙動を示さない。実際、高ポンプパワーPのみがキャビティaにバイスタビリティ挙動を呈させる。なぜなら高ポンプパワーのみがオプトメカニカルキャビティcを強く駆動し、より多くの光子数が光学キャビティaへ結合できるためである。また、3つのポンプパワー下での結合強度Jの関数としての通常光学キャビティaの平均キャビティ内光子数n_aをFig. 3bにプロット。J=0ではn_a=0明らかで、J=0では2つのキャビティ間に結合がなく、光学キャビティaへ光子が結合しない。結合強度Jの増加（2つのキャビティの距離減少[26]）に伴い、通常光学キャビティaのキャビティ内光子数n_aは増加するが、常に増加するわけではない。異なるポンプパワー下でn_aの最大値を与える最適な結合強度Jが存在し、その後n_aはJの増加とともに減少する。2つのキャビティ間の結合強度Jが調整可能[26]であることは注目に値する事実である。

a J=1.0κ_aでの3つのポンプパワーにおけるキャビティ-ポンプデチューニングΔ_aの関数としての通常キャビティaの平均キャビティ内光子数。b 3つのポンプパワーでのJの関数としての平均キャビティ内光子数n_a。c 3つの比パラメータδでのΔ_cの関数としての平均キャビティ内光子数n_c。d 2つのJでのδの関数としての平均キャビティ内光子数n_c

さらに、2つのキャビティのパラメータがバイスタビリティ挙動に影響することを調査するため、比パラメータδ=κ_c/κ_a（κ_c=ω_c/Q_c、κ_a=ω_a/Q_a）を導入する。κはキャビティモードの減衰率で、キャビティの周波数と品質因子に関連する。周知のように、回折限界により、同じキャビティモードで高Qと小さなVを同時に達成するのは困難である。光学キャビティでは、小さなVは大きな放射減衰率に対応し、低いQをもたらす。異なるタイプのキャビティはそれぞれ固有の特性を持つが、高Qと小さなVのトレードオフは依然として存在する。しかし、もともと高キャビティ損失を持つOMS cを、高Qだが大きなVを持つ補助キャビティモードaと結合させると、バイスタビリティ挙動は大きく変化する。Fig. 3cは、結合強度J=1.0κ_aを固定し、いくつかの異なるδ=κ_c/κ_aでのΔ_aの関数としてのオプトメカニカルキャビティcの平均キャビティ内光子数n_cを示す。δ=0.1でJ=2κ_a、すなわちκ_c=0.1κ_a（Q_c>Q_a）では、バイスタビリティ挙動が現れるがキャビティ内光子数n_cは小さい。比δをδ=1.0からδ=2.0へ増加させると、キャビティ内光子数n_cはバイスタビリティ挙動からほぼローレンツ型プロファイルへ変化する。すなわちQ_c

一方、典型的な非線形光学現象として、式(14)でフォトニック分子オプトメカニカルシステムにおけるFWM過程も調査。Fig. 4は、Δ_a=Δ_c=0の下で、プローブ-キャビティaデチューニングΔ_s=ω_s-ω_aの関数としてのFWMスペクトルを、異なるパラメータ領域でプロット。Fig. 4a-dはJ=1.0κ_aで異なるポンプパワーPでのFWMスペクトルの進化を示す。明らかにFWMスペクトルは3つのピークを示し、Δ_s=0付近のローレンツピークと、±ω_mに位置する2つのモード分裂ピークがあり、FWM強度はポンプパワー増加とともに減少する。Fig. 4e-hは、ポンプパワーP=1.0 mWでJ=0.5κ_aからJ=2.0κ_aへのFWMスペクトルの変化を示す。結合強度JをJ=0.5κ_aからJ=2.0κ_aへ増加させると、FWMスペクトルは大きく変化する。この現象は、単一キャビティオプトメカニカルシステムで実証されたドレスト状態像で説明できる[51]。

a-d J=1.0κ_aでの異なるポンプパワーにおける正規化プローブ-ポンプデチューニングΔ_sの関数としてのFWM強度。e-h ポンプパワーP=1.0 mWでの異なるJにおけるΔ_sの関数としてのFWM強度

さらにΔ_a=Δ_c≠0でのFWMスペクトルを調査。Fig. 5a-dは、赤サイドバンド、すなわちΔ_a=Δ_c=ω_mで、J=1.0κ_a固定、ポンプパワーP=1.0から10 mWへ増加させた場合のFWMスペクトル。FWMスペクトルに2つの正常モード分裂ピークが±ω_mにそれぞれ現れ、FWM強度はポンプパワー増加とともに減少。Fig. 5e-hは、赤サイドバンド（Δ_a=Δ_c=ω_m）で、ポンプパワーP=2.0 mW固定、結合強度JをJ=0.5κ_aからJ=2.0κ_aへ増加させた場合のFWMスペクトル。明らかにFWM強度は結合強度Jの増加とともに増加し、大きなJはより多くの光子数が光学キャビティaへ結合することを意味する。デチューニングΔ_aとΔ_cを赤サイドバンドから青サイドバンド、すなわちΔ_a=Δ_c=-ω_mへ変更すると、FWMスペクトルの進化が顕著に変化。Fig. 5i-lは青サイドバンドでの4つの異なるポンプパワーでのFWMスペクトルを表示し、青サイドバンドでもFWM強度はポンプパワー増加とともに減少。±ω_mに位置する2つの正常モード分裂ピークの他に、FWMスペクトルに2つの鋭いサイドバンドピークも現れ、その位置はポンプパワーに関連する。Fig. 5m-pでは、青サイドバンドでの結合強度JがFWMスペクトルに与える影響も議論。FWMスペクトルに他の鋭いサイドバンドピークが現れるかどうかは、結合強度Jに依存する。

a-d 赤サイドバンド（Δ_c=Δ_a=ω_m）かつJ=1.0κ_aでの異なるポンプパワーPにおけるΔ_sの関数としてのFWM強度。e-h 赤サイドバンドかつポンプパワーP=2.0 mWでの異なるJにおけるΔ_sの関数としてのFWM強度。i-l 青サイドバンド（Δ_c=Δ_a=-ω_m）かつJ=1.0κ_aでの異なるポンプパワーPにおけるΔ_sの関数としてのFWM強度。m-p 青サイドバンドかつポンプパワーP=2.0 mWでの異なるJにおけるΔ_sの関数としてのFWM強度

さらに、比パラメータδ=κ_c/κ_aが複合フォトニック分子OMSのキャビティ内光子数に影響するため、FWMスペクトルもパラメータδの制御で操作可能。Fig. 6a-hは、パラメータJ=2.0κ_aとP=10 mW固定、赤サイドバンドで比δをδ=0.05からδ=3.0へ増加させた場合のFWMスペクトルを示し、FWM強度はδ増加とともに減少。一方、青サイドバンドでは、Fig. 6i-pに示すようにFWMスペクトルに他の鋭いサイドバンドピークが現れ、FWM強度もδ増加とともに減少。したがって、キャビティパラメータ、すなわち減衰率κやキャビティのQを制御することで、複合フォトニック分子OMSにおいてFWMを直截的に達成できる。

a-h 赤サイドバンド（Δ_c=Δ_a=ω_m）かつJ=2.0κ_a、P=10 mWでのいくつかの異なる比パラメータδにおけるΔ_sの関数としてのFWM強度。i-p 青サイドバンド（Δ_c=Δ_a=-ω_m）かつJ=2.0κ_a、P=10 mWでのいくつかの異なる比パラメータδにおけるΔ_sの関数としてのFWM強度

結論

高キャビティ損失を持つオプトメカニカルキャビティと高品質因子を持つ補助キャビティで構成される複合WGMキャビティフォトニック分子オプトメカニカルシステムにおける光バイスタビリティと四波混合を調査した。システム内の2つのキャビティ間の結合強度Jと2つのキャビティの減衰率比δなどの異なるパラメータ領域での光バイスタビリティを調査した。光バイスタビリティはオプトメカニカルキャビティを駆動するポンプ場で調整可能であり、2つのキャビティのキャビティ内光子数は結合強度Jによって決定される。さらに、異なる駆動条件（赤サイドバンドと青サイドバンド）と異なるパラメータ条件（結合強度Jと比δ）下でのフォトニック分子オプトメカニカルシステムにおけるFWM過程の制御方法も実証した。数値結果は、これらのパラメータでFWM過程を制御できることを示す。これらの結果は、複合フォトニック分子オプトメカニカルシステムにおける非線形現象の更なる理解に有益である。

略語

C-OMS

キャビティオプトメカニクスシステム

FWM

四波混合

OMS

オプトメカニクスシステム

OMIT

オプトメカニカル誘起透明性

Q

品質因子

V

モード体積

WGM

ささやきギャラリーモード