直列RC回路解析：インピーダンス、位相関係、SPICE検証

前節では単純な抵抗のみ、コンデンサのみのAC回路を探りました。この記事では、これらの素子を直列に組み合わせると挙動がどのように変化するかを示します。

直列コンデンサ回路：電圧は電流に0°〜90°遅れる。

インピーダンス計算

抵抗器は任意の周波数で5Ωの一定抵抗を提供し、コンデンサは60Hzで26.5258Ωのリアクタンスを提供します。

抵抗器のインピーダンスは実数 5Ω ∠ 0°（または 5 + j0 Ω）、コンデンサのインピーダンスは虚数 26.5258Ω ∠ –90°（または 0 – j26.5258 Ω）であるため、電流に対する総合的な抵抗はこれら2つの値の複素和となります。

この複素抵抗をインピーダンスと呼び、Zで表し、抵抗やリアクタンスと同様にオームで測定します。示された回路の総インピーダンスは：

インピーダンスは、DCにおける抵抗と同様に電圧と電流を関連付けますが、大きさと位相の両方を捕捉します：

この形式のオームの法則（E = IZ）は、DC版（E = IR）よりはるかに包括的です。分離または直列・並列結合された抵抗やリアクタンスは、すべて単一のインピーダンスとして表現でき、そうすべきです。

電流計算

電流を決定するには、まず電源電圧の位相角をゼロ、標準的な基準点として設定します。抵抗性および容量性インピーダンスの位相角は、電源に関係なく常に0°と–90°です。

電流は電源電圧に79.325°先行します。これは純粋な容量回路で見られる90°先行より小さい値です。

直列R-C回路では電圧が電流に遅れる（電流が電圧に先行）。

表形式手法

DC解析と同様に、値を表に整理することでAC計算が効率化されます。この直列回路では、既知量をリストし、解析を通じて伝播させます：

電流はすべての直列素子に共通であるため、総電流列を各素子に分配できます。オームの法則を垂直に適用して、抵抗器とコンデンサの電圧を求めます：

抵抗器の電圧は電流と同位相であり、その素子ではEとIが同位相であることを確認できます。コンデンサの電圧は–10.675°で、回路電流からちょうど90°遅れており、容量負荷として期待通りです。

SPICEによる計算検証

解析結果をSPICEでシミュレートして検証します：

SPICE回路：R-C。

ac r-c circuit
v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
c1 2 0 100u
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end
freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 1.852E+00 9.827E+00 3.705E-01
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 7.933E+01 -1.067E+01 -1.007E+02

SPICEは電流位相を–100.7°と報告しますが、180°オフセットを除くと+79.3°となり、解析値79.325°と一致します。測定される電圧と電流は、計算されたフェーザの大きさ（極形式）に対応し、直交成分ではありません。

例えば、抵抗器両端のボルトメータ読み取りは1.852Vであり、直交成分の343.11mV（実部）や1.8203V（虚部）ではありません。直交表記は演算を助けますが、極形式が実測値を直接表現します。

直列R-C回路のインピーダンスは、抵抗（R）と容量リアクタンス（X_C）から計算できます。E = IR、E = IX_C、E = IZを用いると、電圧フェーザ図はインピーダンス図と平行になります。

直列R-C回路インピーダンスフェーザ図。

例： 60Hzで40Ω抵抗と88.42µFコンデンサが直列。インピーダンスを求めよ。

XC = 1/(2πfC)
XC = 1/(2π·60·88.42×10⁻⁶)
XC = 30 Ω
Z = R - jXC
Z = 40 - j30
|Z| = sqrt(40² + (-30)²) = 50 Ω
∠Z = arctan(-30/40) = -36.87°
Z = 40 - j30 = 50∠-36.87°

まとめ：

• インピーダンス（Z）はAC電流に対する総抵抗であり、抵抗とリアクタンスの複素和に等しい。
• 直列回路では、インピーダンスは抵抗と同様に正確に加算：Z_total = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ。
• インピーダンスは素子タイプに関わらず複素形式で加算される。
• 純抵抗インピーダンスの位相角は0°（Z_R = R ∠ 0°）。
• 純容量インピーダンスの位相角は–90°（Z_C = X_C ∠ –90°）。
• ACオームの法則：E = IZ；I = E/Z；Z = E/I。
• 抵抗とコンデンサが共存する場合、総インピーダンス位相は0°〜–90°の間にある。

関連ワークシート：

• 直列並列AC回路ワークシート