矩形波信号の理解：基礎と応用

繰り返しの非正弦波形は、さまざまな振幅と周波数のDC電圧、正弦波、および/またはコサイン波（90度位相シフトした正弦波）の組み合わせと等価であることがわかっています。

波形がどれほど奇妙で複雑であっても、時間的に規則的に繰り返される限り、この正弦波系列に還元可能です。

特に、矩形波は、同じ周波数の正弦波に、振幅が減衰する奇数倍周波数の正弦波の無限系列を加えたものと数学的に等価であることが見出されています：

 

 

この波形に関する真理は最初、信じがたいほど奇妙に思えるかもしれません。しかし、矩形波が実際には無限系列の正弦波高調波の和であるなら、いくつかの正弦波高調波を足し合わせて矩形波の近似を生成することで、これを証明できるはずです。

この推論は正しいだけでなく、SPICEで容易に実証できます。

シミュレートする回路は、適切な振幅と周波数を持ついくつかの正弦波AC電圧源を直列接続しただけのものです。SPICEを使って、電圧源を順次追加していく際の電圧波形をプロットします：

 

矩形波は高調波の和で近似される。

 

この特定のSPICEシミュレーションでは、基本波、第3、第5、第7、第9高調波の電圧源を直列に合計5つ接続しています。基本周波数は50 Hzで、各高調波は当然その整数倍です。

振幅（電圧）の数値はランダムではなく、周波数系列の式（分数4/πに1、1/3、1/5、1/7…を各奇数高調波で乗じたもの）から導かれます。

 

 building a squarewave 
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1st harmonic (50 Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3rd harmonic
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5th harmonic
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7th harmonic
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9th harmonic
r1 5 0 10k 
.tran 1m 20m 
.plot tran v(1,0) Plot 1st harmonic 
.plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics
.plot tran v(3,0) Plot 1st + 3rd + 5th harmonics
.plot tran v(4,0) Plot 1st + 3rd + 5th + 7th harmonics
.plot tran v(5,0) Plot 1st + . . . + 9th harmonics
.end

 

ここからステップバイステップで解析を説明します。最初のプロットでは、50 Hzの基本周波数正弦波単独が見えます。追加の高調波成分を持たない純粋な正弦波形です。これは理想的なAC電源が生成する波形です：

 

純粋な50 Hz正弦波。

 

次に、このきれいな波形に第3高調波（50 Hzの3倍、150 Hz）を組み合わせるとどうなるか。突然、きれいな正弦波ではなくなります：

 

第1（50 Hz）と第3（150 Hz）高調波の和が50 Hz矩形波を近似。

 

正負サイクル間の立ち上がり/立ち下がり時間がずっと急峻になり、波の山が矩形波のように平らになりつつあります。次の奇数高調波を加えるとどうなるか見てみましょう：

 

第1、第3、第5高調波の和が矩形波を近似。

 

ここでは波の山がさらに平らになったのがわかります。波の両端にいくつかのディップと山がありますが、それらの振幅は以前より小さくなっています。さらに次の奇数高調波波形をミックスに加えると：

 

第1、第3、第5、第7高調波の和が矩形波を近似。

 

各ピークで波形がより平らになっているのがわかります。最後に第9高調波、5番目の正弦波電圧源を加えると、次の結果が得られます：

 

第1、第3、第5、第7、第9高調波の和が矩形波を近似。

 

最初の5つの奇数高調波波形を（すべて適切な振幅で）加えた最終結果は、矩形波の近似としてかなり近いものです。これを行うポイントは、異なる周波数の複数の正弦波から矩形波を構築できることを示し、純粋な矩形波が実際には正弦波の系列と等価であることを証明することです。

矩形波AC電圧がリアクティブコンポーネント（コンデンサとインダクタ）を持つ回路に印加されると、それらのコンポーネントは、異なる周波数の複数の正弦波電圧に曝されているかのように反応します。実際、そうだからです。

繰り返し非正弦波が、定まった系列の加算的DC電圧、正弦波、および/またはコサイン波と等価であることは、波の働き方の根本的性質、電気的であれそうでないであれ、すべての波関連現象に共通する基本的性質の帰結です。

非正弦波をこれらの構成周波数に還元する数学的プロセスをフーリエ解析と呼び、その詳細は本書の範囲を超えます。しかし、この解析を実波形で高速に実行するコンピュータアルゴリズムが作成されており、AC電力品質解析や信号解析で広く応用されています。

SPICEには、波形をサンプリングし、フーリエ変換アルゴリズムによって構成正弦波高調波に分解し、周波数解析を数値テーブルとして出力する機能があります。これを矩形波で試してみましょう。矩形波は奇数高調波正弦波で構成されることはすでにわかっています：

 

 squarewave analysis netlist
 v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) 
 r1 1 0 10k 
 .tran 1m 40m 
 .plot tran v(1,0) 
 .four 50 v(1,0) 
 .end

 

電圧源v1を記述するネットリスト行のpulseオプションは、SPICEに対称的（半サイクル等時間）でピーク振幅1ボルトの矩形「パルス」波形をシミュレートするよう指示します。まず矩形波をプロットして解析対象とします：

 

SPICEフーリエ解析用矩形波

 

次に、この矩形波に対してSPICEが生成したフーリエ解析を出力します：

 

 fourier components of transient response v(1) 
dc component = -2.439E-02
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
total harmonic distortion = 43.805747 percent

 

フーリエ解析結果のプロット。

 

ここでは（上図）、SPICEが波形を第9高調波までの正弦波周波数スペクトラムに分解し、DC componentとラベル付けされた小さなDC電圧も示しています。

矩形波の周期20ミリ秒（基本周波数50 Hz）なので、SPICEに基本周波数を教える必要がありました。偶数高調波（2、4、6、8）の数値がいかに小さいか、奇数高調波の振幅が減衰しているか（第1が最大、第9が最小）に注目してください。

この「フーリエ変換」技術は、コンピュータ化された電力計測でよく用いられ、AC波形をサンプリングしてその高調波含有率を決定します。このタスクの一般的なコンピュータアルゴリズム（タスク実行のためのプログラム手順のシーケンス）は高速フーリエ変換またはFFT関数です。

これらのコンピュータルーチンが正確にどう動作するかを気にする必要はありませんが、その存在と応用を認識しておいてください。

SPICEで波形の高調波含有率を解析するのと同じ数学的技術は、音楽の技術的解析にも応用できます：特定の音を構成正弦波周波数に分解するのです。

実は、それが何であるか気づかずに、まさにそれを行うために設計されたデバイスを見たことがあるかもしれません！ グラフィックイコライザは、音楽の高調波含有率を制御（および時には表示）するハイファイステレオ機器です。

複数のノブやスライドレバーを備え、イコライザは音楽に含まれる特定周波数の振幅を選択的に減衰（低減）し、リスナーの好みに合わせて音を「カスタマイズ」できます。通常、各コントロールレバーの隣に「バー グラフ」ディスプレイがあり、各特定周波数の振幅を表示します。

 

ハイファイオーディオ グラフィックイコライザ。

 

制御せず、混合周波数信号の各周波数範囲の振幅を表示のみするデバイスは、通常スペクトラムアナライザと呼ばれます。

スペクトラムアナライザの設計は、異なる周波数を互いに分離する「フィルタ」回路のセット（次章で詳細）のように単純なものから、FFTアルゴリズムを実行する特殊目的のデジタルコンピュータのように複雑なものまであります。

スペクトラムアナライザは、無線送信機やコンピュータネットワークハードウェアが生成する極めて高周波信号を解析するよう設計されることが多く、その形態はオシロスコープに似ることがあります：

スペクトラムアナライザは振幅を周波数の関数として表示。

 

オシロスコープと同様、スペクトラムアナライザはCRT（またはCRTを模倣したコンピュータディスプレイ）を用いて信号のプロットを表示します。

オシロスコープと異なり、このプロットは時間ではなく周波数に対する振幅です。本質的に、周波数アナライザはオペレータに信号のボード線図を与えます：エンジニアが周波数領域と呼ぶもので、時間領域解析とは対照的です。

「領域」という用語は数学的なもので、グラフの横軸を説明する洗練された言葉です。したがって、オシロスコープの振幅（垂直）対時間（水平）プロットは「時間領域」解析、スペクトラムアナライザの振幅（垂直）対周波数（水平）プロットは「周波数領域」解析です。

SPICEで信号振幅（電圧または電流振幅）を周波数範囲でプロットするとき、私たちは周波数領域解析を行っています。

前回のSPICEシミュレーションのフーリエ解析が「完璧」でないことに注意してください。理想的には、すべての偶数高調波の振幅は絶対ゼロ、DC成分もゼロであるべきです。これはSPICEの癖というより、波形一般の性質です。

無限持続時間（無限サイクル数）の波形は絶対的精度で解析できますが、コンピュータが解析に利用できるサイクル数が少ないほど、解析精度は低下します。波形を完全に記述する方程式があるときのみ、フーリエ解析はそれを確定した正弦波系列に還元できます。

波がサイクルする回数が少ないほど、その周波数成分の確実性は低くなります。この概念を論理的極限まで推し進めると、1サイクルさえ完了しない短いパルス—サイクルを完了しない波形—は実際には周波数を持たないが、無限の周波数範囲として振る舞います。この原理は、AC電圧/電流だけでなく、すべての波動ベース現象に共通します。

サイクル数と波形の周波数成分の確実性は直接関係しています。

ここで波をもっと多くのサイクルで振動させ続ければ、分析精度を改善でき、結果は理想により一致するスペクトル解析になります。以下の解析では、波形プロットを簡潔さのため省略します—ただの非常に長い矩形波です：

 

 square wave 
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) 
r1 1 0 10k 
.option limpts=1001 
.tran 1m 1 
.plot tran v(1,0) 
.four 50 v(1,0) 
.end 
fourier components of transient response v(1) 
dc component = 9.999E-03
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399

 

改善されたフーリエ解析。

 

この解析（上図）では、DC成分電圧がより小さく、各偶数高調波正弦波の振幅もより低くなっています。コンピュータに波のより多くのサイクルをサンプリングさせたためです。再び、最初の解析の不正確さは、SPICEの欠陥というより、波と信号解析の根本的性質です。

 

復習：

• 矩形波は、同じ（基本）周波数の正弦波に、振幅減衰する奇数倍正弦波高調波の無限系列を加えたものと等価。
• 波形をサンプリングして構成正弦波成分を決定するコンピュータアルゴリズムが存在する。フーリエ変換アルゴリズム（特に高速フーリエ変換、FFT）は、SPICEのようなコンピュータ回路シミュレータや、電力品質決定用の電子計測機器で一般的に使用される。

関連ワークシート：

• 矩形波信号ワークシート