マルチ周波数ソースに対する回路応答の解析

周期的非正弦波形が、異なる周波数の正弦波セットに分解できるという原理は、AC回路解析の基礎です。

回路が純粋な正弦波でない波形で駆動されるとき、回路内の素子は、周波数成分のスペクトルが同時に印加されたかのように応答します。

リアクティブコンポーネント（コンデンサとインダクタ）は、存在する各周波数に対して異なるインピーダンスを示すため、全体応答はソースの全周波数スペクトルに依存します。

このような状況を解析するため、エンジニアは重ね合わせの定理に依存します。マルチ周波数ソースを単一周波数電圧源の系列として扱い、1つの周波数ずつ回路を解き、結果を組み合わせて総応答を得ます。

例：60 Hzと90 Hz成分で駆動される回路

まず、60 Hz成分について解きます：

60 Hzブランチの解析

次に、90 Hz成分について解きます：

90 Hzブランチの解析

抵抗器とコンデンサの電圧降下を重ね合わせると、次のようになります：

各素子の電圧に異なる周波数成分が含まれるため、それらを同じ周波数を共有するかのように単純に加算することはできません。複素数は大きさと位相を捕捉しますが周波数をエンコードしないため、各成分を別々に扱う必要があります。

解析から、2つのソース電圧が振幅で等しくても、コンデンサは60 Hzで90 Hzより大きな電圧降下を経験し、抵抗器は逆の振る舞いを示すことがわかります。この、異なる周波数への不均一な応答は、次章で深く探求される重要な概念です。

重ね合わせは、矩形波のような非正弦波ソースにも適用されます。波形をフーリエ級数—奇数高調波における正弦波とコサイン波の和、特定の振幅、周波数、位相シフトを持つ—として表現することで、それを正弦波源の連鎖として扱えます。

矩形波のフーリエ級数は多くの項を必要とします（標準級数では良い精度のために第9高調波まで拡張）が、アプローチは有効です。複雑さは、波形の精密な表現とのトレードオフです。

実世界では、矩形波で駆動される回路は、振幅減衰する奇数高調波正弦波の無限系列で駆動されているかのように正確に振る舞います。これは共振ピーク、トランスやインダクタのコア発熱、広帯域電磁ノイズ、その他の意図しない効果を引き起こす可能性があります。エンジニアはリアクティブ回路設計時に非正弦波形を考慮しなければなりません。

高調波は電磁放射としても現れます。携帯コンピュータの機内使用に関する研究では、高周波矩形波クロック信号が航空電子機器に干渉する電波を生成することが示されています。クロック信号の高調波が広い周波数範囲に広がるため、干渉の可能性は顕著です。

産業現場でも同様の課題に直面しています。機械式から固体モータ制御への移行により、高周波高調波が近くの信号配線に容量的・誘導的に結合し、古い純抵抗制御では存在しなかったノイズを生成します。

基礎電力線周波数は60 Hzですが、その高調波は理論上任意に高い周波数まで延びます。低周波電力線はほとんど電磁エネルギーを放射しませんが、高周波はより効率的に放射します。導体間結合も高周波でより顕著になるため、現代電子システムでは信号完全性が懸念されます。

復習

• あらゆる周期的非正弦波形は、さまざまな周波数、位相、振幅、およびあり得るDCオフセットを持つ正弦波/コサイン波成分のフーリエ級数として表現できる。
• マルチ周波数ソースは単一周波数電圧源を連鎖させてシミュレート可能；重ね合わせの定理で各周波数を別々に解析できる。異なる周波数の電圧や電流を複素数領域で単純に加算できないことに注意（複素数は周波数をエンコードしない）。
• 高調波は、容量結合、誘導結合、電磁放射を通じて隣接回路に望ましくない「ノイズ」を導入する。

関連ワークシート

• 重ね合わせの定理ワークシート