スーパーノード回路解析をマスター: 解説例付きステップバイステップチュートリアル

スーパーノード解析 – 定義、公式、ステップバイステップ解説例

スーパーノード解析とは？

今日は、シンプルなノード/ノーダル回路解析で回路を簡略化できるのに、なぜスーパーノード回路解析を使用するのかという一般的な疑問に答えます。

前回の記事では、シンプルなメッシュ解析ではなくスーパーメッシュ回路解析を使用する理由について議論しました。この点が理解できていれば、今回も同じケースです。納得できない場合は、以下の例で説明します。

以下の図1の両回路を考察してください。何か違いに気づきましたか？

両回路の違いは、ノード2とノード3の間に7Ω抵抗の代わりに22Vの電圧源が追加されている点です。これが主なポイントです。

ノードまたはノーダル解析では、各非基準ノードでKCL（キルヒホッフの電流則）を適用します。つまり、図1(a)では3つのノードに単純なKCLを1回ずつ適用します。

同じように、図1(b)の回路にノーダル解析を適用しようとすると、ノード1とノード2で困難に直面します。電圧源を含む枝路の電流がわからないからです。さらに、電流を電圧の関数として表現する方法もありません。電圧源の定義は「電圧は電流に依存しない」だからです。これらの困難のため、図1(b)ではノーダル解析ではなくスーパーノード回路解析を使用します。

図1(b)の回路を簡略化するには2つの方法があります。

第1の方法はより複雑で、電圧源を含む枝路に未知の電流値を割り当てます。その後、3つのノードそれぞれにKCLを適用（各ノード1式）。最後に、ノード2とノード3間でKVL（キルヒホッフの電圧則）v₃ – v₂ = 22V を適用します。このケースでは上記例で4つの未知数に対する4式が得られ、少し複雑です。

第2の方法はより簡単で、スーパーノード解析と呼ばれます。この方法では、ノード2、ノード3、および22V電圧源をまとめて一種のスーパーノードとして扱い、両ノード（ノード2とノード3）に一度にKCLを適用します。

スーパーノードは点線で囲まれた領域で示されます。これは、ノード2から流出する総電流がゼロ（0）であり、ノード3から流出する総電流もゼロ（0）であれば、それらの組み合わせから流出する総電流もゼロになるため可能です。この概念は、以下の図2(b)のスーパーノード（破線で囲まれた領域）に示されています。

それでは、以下の回路をステップバイステップのスーパーノード回路解析で解き、その後スーパーノード解析全体をステップバイステップでまとめます。

• 関連記事: スーパーメッシュ回路解析 | ステップバイステップ解説例付き

スーパーノード解析の解説例

例題:

スーパーノード解析を用いて、以下の図3(a)における各電流源の両端電圧、すなわち v₁ と v₂ を求めよ。

解答:

まず、図3(b)のように回路を再描画します。

ノード1についてKCL式を書きます。

4 = 0 + 3v₁ + 3v₃ … → 式 (1)。

次に、スーパーノード（ノード1とノード2の組み合わせ）を考慮します。さらに、1つの電流源と3つの抵抗が接続されています。したがって、

スーパーノード（ノード1 & ノード2）でKCLを適用します。

9 = 2v₂ + 6v₃ + 3v₃ – 3v₁ + 0。

9 = – 3v₁ + 2v₂ + 9v₃ … → 式 (2)。

3つの未知数があるため、さらに1式必要です。显然、ノード2とノード3間の5V電圧源を用います。

v₂ – v₃ = 5 … → 式 (3)。

クラメールの公式またはクラメールの公式計算機、消去法、ガウス消去法、またはMATLABなどのコンピュータ支援プログラムを用いて式(1)、(2)、(3)を解くと、

• v₃ = 0.575 V または 375mV。
• v₂ = 5.375 V。
• v₁ = 1.708 V。

スーパーノード解析のまとめ（ステップバイステップ）

1. 回路を再描画する（可能であれば）。
2. 回路内のノード数を数える。
3. 基準ノードを決定する。最も分岐数の多いノードが望ましい。これにより方程式の数を最小化できる。
4. ノード電圧にラベルを付ける。数は (N-1)、ここで N = ノード数。
5. スーパーノードを形成する。回路/ネットワークに電圧源が含まれる場合。この作業は、電圧源の端子と、2つの端子間に接続された他の回路要素を点線で囲むことで行う。これは上図2(b)に示されている。
6. 各非基準ノードおよび基準ノードを含まない各スーパーノードについてKCL（キルヒホッフの電流則）式を書く。第1辺では、電流源からスーパーノード/ノードへ流入する電流を加算する。他方では、抵抗を通じてスーパーノード/ノードから流出する電流を加算する。KCL式の記述と解法では「-」符号を考慮する。
7. 定義された各スーパーノードに対して1つのKCL（キルヒホッフの電流則）が必要。これはKCLの単純な適用で達成できる。簡単に言えば、各電圧源両端の電圧をノード電圧に関連付ける。
8. 従属源が回路に現れる場合、この場合、ノード電圧以外の追加の未知値/量（電流や電圧）を適切なノード電圧で表現する。
9. 方程式系を整理・体系化する。
10. 最後に、ノード電圧（V₁, V₂, V₃等）について方程式系を解く。これらは(N-1、ここで「N」= ノード数)個存在する。方程式系の解法に困難がある場合は、上記の解説例を参照のこと。

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