スーパーメッシュ回路解析をマスター: 解説例付きステップバイステップガイド

スーパーメッシュ 解析 – 定義、公式、解説例

スーパーメッシュ解析とは？

スーパーメッシュまたはスーパーメッシュ解析は、2つのメッシュが電流源を共通要素として持つような複雑な電気回路/ネットワークを解析する際、メッシュ解析の代わりにより優れた技法です。これは、電圧源をスーパーノード内に完全に囲み、非基準ノードを電圧源1つにつき1つ減らすスーパーノード回路解析を、ノード/ノーダル回路解析の代わりに使用するのと同じケースです。

スーパーメッシュ回路解析技法では、電流源がスーパーメッシュの内側領域に位置します。したがって、回路に存在する電流源1つにつき、メッシュの数を1つ減らすことができます。

電流源が回路の周辺（外周）にあるメッシュは無視できます。あるいは、KVL（キルヒホッフの電圧則）は、再構成された回路内のメッシュまたはスーパーメッシュのみに適用されます。

前置きだけでは理解しにくいため、まずシンプルな回路をスーパーメッシュ回路解析で解き、その後スーパーメッシュ解析全体をステップバイステップでまとめます。

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スーパーメッシュ解析の解説例

スーパーメッシュ回路解析をマスター: 解説例付きステップバイステップガイド

例題:

メッシュ解析を用いて、以下の図における V₃ および電流 i₁, i₂, i₃ を求めよ。

解答:

メッシュ1にKVLを適用。

80 = 10i₁ + 20(i₁ – i₂) + 30 (i₁ – i₃)

整理すると、

80 = 10i₁ + 20i₁ – 20i₂ + 30i₁– 30i₃

80 = 60i₁ – 20i₂ – 30i₃ ….. → 式 (1)。

次にスーパーメッシュ（メッシュ2とメッシュ3の統合だが、単一メッシュとして知られるスーパーメッシュにより1つ減らしたもの）にKVLを適用。

30 = 40i₃ + 30(i₃ – i₁) + 20(i₂ – i₁)

30 = 40i₃ + 30i₃ – 30i₁ + 20i₂ – 20i₁

30 = 70i₃ – 50i₁ + 20i₂ ….. → 式 (2)。

しかし、ここでは3つの変数（i₁, i₂, i₃）があり、式は2つしかありません。したがって3つの式が必要です。

スーパーメッシュ内の独立電流源は、想定したメッシュ電流に関連付けられます。

15ix = i₃ – i₂

i₃ = 15ix + i₂ ….. → 式 (3)。

クラメールの公式またはクラメールの公式計算機、消去法、ガウス消去法、またはMATLABなどのコンピュータ支援プログラムを用いて式(1)、(2)、(3)を解くと、

i₁ = 0.583 A

i₂ = -6.15 A

i₃ = 2.6 A

また、V₃ の値も求められます。

V₃ = i₃ × R₃

値を代入すると、

V₃ = 2.6A × 40Ω

V₃ = 104 V.

スーパーメッシュ解析のまとめ（ステップバイステップ）

回路が平面回路か評価する。平面ならスーパーメッシュ適用。そうでなければノーダル解析を実行。
必要に応じて回路を再描画し、回路内のメッシュ数を数える。
回路内の各メッシュ電流にラベルを付ける。経験則として、すべてのメッシュ電流を時計回りに定義すると解析がシンプルになる。
2つのメッシュで電流源を含む場合、スーパーメッシュを形成する。スーパーメッシュが両メッシュを囲むようにする。
回路内の各メッシュおよびスーパーメッシュ周りにKVL（キルヒホッフの 電圧則）式を書く。簡単で適切なノードから開始。メッシュ電流の方向に進む。KVL式の記述と解法では「-」符号を考慮する。電流源がメッシュの周辺にある場合、KVL式は不要。メッシュ電流は視察により決定・評価される。
定義された各スーパーメッシュに対して1つのKCL（キルヒホッフの電流則）が必要。これはKCLの単純な適用で達成できる。簡単に言えば、各電流源から流れる電流をメッシュ電流に関連付ける。
回路がさらに従属源を含む場合の追加ケースが発生する可能性。この場合、メッシュ電流以外の追加の未知値/量（電流や電圧）を適切なメッシュ電流で表現する。
方程式系を整理・体系化する。
最後に、メッシュ電流について方程式系を解く。メッシュ数分の解が得られる。方程式系の解法に困難がある場合は、上記の例を参照のこと。

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