置換定理をマスター：ステップバイステップガイドと実践例

置換定理を用いた電気回路の解析と解法

置換定理

名前が示す通り、置換定理は回路の一要素を別の要素で置き換えるために用いられます。ただし、置き換えの際には回路の振る舞いが変わらないことを保証しなければなりません。

置換定理は次のように述べられます：

この定理はいくつかの定理の証明に用いられます。ネットワークの一分岐を置き換える際、この定理は境界条件を教えてくれます。

ある分岐を流れる電流の値と、その分岐にかかる電圧の値が分かっていれば、その分岐を電圧源、電流源、異なる抵抗値などの他の要素で置き換えても、初期条件は変わりません。

この定理は、2つ以上の電源が直列または並列に接続されている回路には適用できません。

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置換定理の説明

置換定理とは、ネットワークの任意の分岐を、異なる要素を持つ等価な分岐で置き換えるものです。この定理では、元のネットワークにおけるその分岐の電圧と電流と同じ電圧源・電流源で任意の分岐や要素を置き換えることができます。

下図のネットワークで置換定理を理解しましょう。

上図のように、直流電源に2つの抵抗器が直列接続されています。ここで、任意の分岐や要素を他の要素で置き換えてみます。その前に、すべての分岐を流れる電流と、各分岐にかかる電圧を知る必要があります。

この回路は単一ループしかないため、すべての分岐と要素を流れる電流は同じです。この電流はキルヒホッフの電圧則（KVL）を適用して求められます。

ループを流れる電流をIとします。

+15 = 5I + 10I

15 = 15I

I = 1A

したがって、各要素を流れる電流は1Aです。次に、各要素にかかる電圧を求めます。

一分岐は電圧源なので、その電圧は既知です。この電圧が2つの抵抗器に分割されます。各抵抗器の電圧は分圧則で求められます。

5Ω抵抗器の電圧は：

同様に、10Ω抵抗器の電圧は：

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置換例1

10Ω抵抗器分岐を10V電圧源で置き換えます（下図参照）。

ネットワークにKVLを適用：

+15 - 10 = 5I

5 = 5I

I = 1A

ループ電流は元の回路と同じです。各要素の電圧を計算します。10Ω抵抗器分岐は10V電圧源で置き換えられたため、その分岐電圧は10Vです。これは元の回路におけるその分岐の電圧と一致します。

5Ω抵抗器分岐の電圧を求めます。この分岐を流れる電流は1Aなので、オームの法則により：

V_5Ω = 1A × 5 = 5V

すべての分岐の電流と電圧が元のネットワークと同じになりました。

置換例2

5Ω抵抗器分岐を取り除き、5V電圧源で置き換えます。この置換後の回路図は下図の通りです。

すべての分岐の電流と電圧を計算し、元のネットワークと比較します。

ループ電流を求めるためKVLを適用：

+15 - 5 = 10I

10 = 10I

I = 1A

したがって、ループ電流（要素を流れる電流）は元のネットワークと同じです。

5Ω抵抗器分岐は5V電圧源で置き換えられたため、この分岐電圧は元のネットワークと同じです。次に10Ω抵抗器分岐の電圧を計算します。

10Ω抵抗器分岐を流れる電流は1Aです。オームの法則により：

V_10Ω = IR

V_10Ω = 1 × 10

V_10Ω = +10 V

したがって、5Ω抵抗器を5V電圧源で置き換えても、ネットワークの振る舞いは変わりません。

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置換例3

10Ω抵抗器分岐を取り除き、1A電流源で置き換えます。置換後の回路図は下図の通りです。

回路に電流源があるため、ループを流れる電流は電流源の値と同じになります。ここでは1A電流源が接続されているため、ループ電流は1Aとなり、元のネットワークと同じです。

5Ω抵抗器と1A電流源の電圧を計算します。

オームの法則により：

V_5Ω = IR

V_5Ω = 1 × 5

V_5Ω = +5 V

1A電流源の電圧を求めます。電流源の電圧をVとします。

上図より：

+15 - 5 - V = 0

V = +10 V

したがって、10Ω抵抗器を1A電流源で置き換えても、すべての要素の電圧と電流が元のネットワークと同じであることが証明されました。

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置換例4

10Ω抵抗器分岐を取り除き、5Ω抵抗器と5V電圧源の直列接続で置き換えます。この置換回路図は下図の通りです。

ループ電流を求めるため、上記ネットワークにKVLを適用：

15 - 5 = 5I + 5I

10 = 10I

I = 1A

要素を流れる電流は元のネットワークと同じです。すべての要素の電圧を求めます。

5Ω抵抗器の電圧：オームの法則を用いて、

V_5Ω = IR

V_5Ω = 1 × 5

V_5Ω = 5 V

点AとB間の電圧を求めます。

上図より、5Ω抵抗器を流れる電流は1Aなので、この要素の電圧は5Vです。点AとB間の総電圧は：

V_AB = 5 + V_5Ω

V_AB = 5 + 5

V_AB = +10 V

したがって、10Ω抵抗器分岐を5Ω抵抗器と5V電圧源で置き換えても、ネットワークの振る舞いは変わりません。

このように、ネットワークの任意の要素を、その要素の電圧と電流を変えず、ネットワークの振る舞いを変えずに置き換える方法がいくつも存在します。

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置換定理を用いたネットワーク解法の手順

ステップ1 ネットワークのすべての要素の電圧と電流を求めます。一般的にKCL、KVL、オームの法則の簡単な適用で計算できます。

ステップ2 別の要素（電流源、電圧源、抵抗器など）で置き換えたい対象の分岐を特定します。

ステップ3 電圧と電流が変わらないよう、置換要素の適切な値を決定します。

ステップ4 新しい回路のすべての要素の電圧と電流を計算し、元のネットワークと比較して検証します。

以上が置換定理の概要です。それでは例題を解いてみましょう。

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置換定理の例題と解答

下記ネットワークを置換定理を用いて解き、すべての抵抗器の電流と電圧を計算せよ。

ステップ1 すべての要素の電圧と電流を求めます。この例ではKVLを適用します。

ループ1にKVLを適用：

14 = 6I₁ - 4I₂ … (1)

ループ2にKVLを適用：

0 = 12I₂ - 4I₁

12I₂ = 4I₁

I₁ = 3I₂ … (2)

式(2)を式(1)に代入：

14 = 6(3I₂) - 4I₂

14 = 18I₂ - 4I₂

14 = 14I₂

I₂ = 1A

式(2)より：

I₁ = 3A

ステップ2 ループ1の分岐を取り除き、単一ループにします。

ステップ3 4Ω抵抗器の代わりに電圧源または電流源を配置します。ここでは電流源を配置します。

ループ2を流れる電流は1Aです。したがって、この分岐を1A電流源で置き換えます。残りの回路は下図のようになります。

ステップ4 すべての要素の電圧と電流を検証します。

このネットワークは単一ループで、電流源を含みます。したがって、ループを流れる電流は電流源の値と同じです。

ここでは電流源の値が1Aです。したがって、3Ωと5Ω抵抗器分岐を流れる電流は1Aで、元のネットワークと同じです。

3Ω抵抗器の電圧（オームの法則）：

V_3Ω = IR

V_3Ω = 1 × 3

V_3Ω = 3V

5Ω抵抗器の電圧（オームの法則）：

V_5Ω = IR

V_5Ω = 1 × 5

V_5Ω = 5V

電圧と電流が元のネットワークと同じです。これが置換定理の働きです。

ステップ3で電流源 대신電圧源を選んだ場合、その電圧源の値は4Ω抵抗器分岐の電圧と同じにします。

元のネットワークで4Ω抵抗器分岐を流れる電流は：

I₁ - I₂ = 3 - 1 = 2A

オームの法則により：

V_4Ω = 2 × 4 = 8V

したがって、8V電圧源をネットワークに接続し、残りの回路は下図のようになります。

ステップ4 検証：上記ループにKVLを適用。

8 = 3I + 5I

8 = 8I

I = 1A

3Ω抵抗器の電圧：

V_3Ω = 1 × 3 = 3V

5Ω抵抗器の電圧：

V_5Ω = 1 × 5 = 5V

置換後の電圧と電流が元のネットワークと同じです。

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