MATLABで固有値・固有ベクトルをマスター：実践ガイド

固有値と固有ベクトルは線形代数の基本概念であり、物理学、工学、データ分析などさまざまな分野で広く使用されています。MATLABでは、これらの概念を簡単に探索・計算できます。

固有値とは

固有値は、ベクトル空間の線形変換に関連するスカラーで、λ（ラムダ）で表されます。対応する固有ベクトルが変換時にスケーリングされる倍率を表します。

固有ベクトルとは

固有ベクトルは、線形変換を適用してもスカラー倍率だけで変化し、方向が変わらない非ゼロベクトルです。つまり、Aを行列、vを固有ベクトル、λを対応する固有値とすると、

Av = λv

が成り立ちます。ここで、Aは正方行列、vは固有ベクトル、λは固有値です。

MATLAB関数

MATLABは固有値と固有ベクトルを計算する組み込み関数を提供します。

eig関数の使用

この関数は行列の固有値と固有ベクトルを計算します。

構文

 e = eig(A) [V,D] = eig(A) [V,D,W] = eig(A) e = eig(A,B) [V,D] = eig(A,B) [V,D,W] = eig(A,B) [___] = eig(A,balanceOption) [___] = eig(A,B,algorithm) [___] = eig(___,outputForm) 

構文の説明

• e = eig(A) — 正方行列Aの固有値を含む列ベクトルを返す。
• [V,D] = eig(A) — 対角行列DにAの固有値、行列Vの列に対応する固有ベクトルを返す。これは A*V = V*D が成り立つことを意味する。
• [V,D,W] = eig(A) — 左固有ベクトルを列とするフル行列Wも返す。W'*A = D*W' が成り立つ。
• 固有値問題は Av = λv を満たす解を見つける問題。Aは正方行列、vは列ベクトル、λはスカラー。この方程式を満たすλが固有値、vが右固有ベクトル。左固有ベクトルwは w'*A = λw' を満たす。
• e = eig(A,B) — 正方行列A, Bの一般化固有値を含む列ベクトルを返す。
• [V,D] = eig(A,B) — 対角行列Dに一般化固有値、行列Vの列に対応する右固有ベクトルを返す。A*V = B*V*D が成り立つ。
• [V,D,W] = eig(A,B) — 左固有ベクトルを列とする行列Wも返す。W'*A = D*W'*B が成り立つ。
• 一般化固有値問題は Av = λBv の解を見つける問題。A, Bは正方行列、vは列ベクトル、λはスカラー。λが一般化固有値、vが右固有ベクトル。左固有ベクトルwは w'*A = λw'*B を満たす。
• [___] = eig(A, balanceOption) — balanceOptionに"nobalance"を指定すると、アルゴリズムの事前バランシングステップを無効化。デフォルトは"balance"（バランシング有効）。前述の出力引数のいずれかを返せる。
• [___] = eig(A,B,algorithm) — algorithmに"chol"を指定すると、Bのコレスキー分解を使用して一般化固有値を計算。デフォルトアルゴリズムはA, Bの性質に依存するが、AまたはBが対称でない場合は"qz"（QZアルゴリズム）。
• [___] = eig(___,outputForm) — outputFormで指定した形式で固有値を返す。"vector"で列ベクトル、"matrix"で対角行列。

MATLAB eig()関数の例

例1：e = eig(A)で固有値を計算

 % 行列Aを定義 A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; % 固有値を計算 e = eig(A) 

• 行列Aを3×3行列として定義
• eig(A) で行列Aの固有値を計算
• 結果は変数e（列ベクトル）に格納

実行結果：

 >> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; e = eig(A) e = 16.1168 -1.1168 -0.0000 

例2：[V,D] = eig(A)で固有値と固有ベクトルを取得

 % 行列Aを定義 A = [2, -1; 4, 3]; % 固有値と固有ベクトルを計算 [V, D] = eig(A); % 固有値を表示 disp('Eigenvalues:'); disp(D); % 固有ベクトルを表示 disp('Eigenvectors:'); disp(V); 

• 行列Aを2×2行列として定義
• [V, D] = eig(A) で固有値（D）と対応する固有ベクトル（V）を計算
• Dは固有値を含む対角行列
• Vは対応する固有ベクトルを列とする行列

実行結果：

 Eigenvalues: 2.5000 + 1.9365i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 2.5000 - 1.9365i Eigenvectors: -0.1118 + 0.4330i -0.1118 - 0.4330i 0.8944 + 0.0000i 0.8944 + 0.0000i