MATLAB積分マスター：不定積分からリーマン和まで

積分には、本質的に異なる2種類の問題があります。

• 第1のタイプでは、関数の導関数が与えられ、元の関数を求めます。つまり、微分の逆プロセスを行います。この逆プロセスは、逆微分、原始関数の発見、または不定積分の発見として知られています。

• 第2のタイプでは、非常に多数の非常に小さな量を加算し、量のサイズがゼロに近づき、項の数が無限大に近づく極限を取ります。このプロセスは定積分の定義につながります。

定積分は、面積、体積、重心、慣性モーメント、力による仕事、およびその他多数の用途で使用されます。

MATLABでの不定積分の計算

定義により、関数f(x)の導関数がf'(x)である場合、f'(x)のxに関する不定積分はf(x)であると言えます。例えば、x²のxに関する導関数が2xであるため、2xの不定積分はx²と言えます。

記号で表すと、

f'(x²) = 2xであるため、

∫ 2x dx = x²となります。

不定積分は一意ではありません。なぜなら、任意の定数cに対してx² + cの導関数も2xになるからです。

これは記号で以下のように表されます。

∫ 2x dx = x² + c

ここで、cは「任意定数」と呼ばれます。

MATLABには、式の積分を計算するintコマンドがあります。関数の不定積分の式を導出するには、以下のように記述します。

 int(f); 

前の例から、

 syms x int(2*x) 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = x^2 

例1

この例では、よく使用される式の積分を求めます。スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 syms x n int(sym(x^n)) f = 'sin(n*t)' int(sym(f)) syms a t int(a*cos(pi*t)) int(a^x) 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)]) f = sin(n*t) ans = -cos(n*t)/n ans = (a*sin(pi*t))/pi ans = a^x/log(a) 

例2

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 syms x n int(cos(x)) int(exp(x)) int(log(x)) int(x^-1) int(x^5*cos(5*x)) pretty(int(x^5*cos(5*x))) int(x^-5) int(sec(x)^2) pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2)) int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2) pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2)) 

pretty関数は、式をより読みやすい形式で返します。

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = sin(x) ans = exp(x) ans = x*(log(x) - 1) ans = log(x) ans = (24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5 2 4 24 cos(5 x) 24 x sin(5 x) 12 x cos(5 x) x cos(5 x) ----------- + ------------- - -------------- + ------------ 3125 625 125 5 3 5 4 x sin(5 x) x sin(5 x) ------------- + ----------- 25 5 ans = -1/(4*x^4) ans = tan(x) 2 x (3 x - 5 x + 1) ans = - (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2 6 5 4 3 7 x 3 x 5 x x - ---- - ---- + ---- + -- 12 5 8 2 

MATLABでの定積分の計算

定義により、定積分は基本的に和の極限です。定積分を使用して、曲線とx軸の間の面積、2つの曲線の間の面積などを求めます。定積分は、必要な量が和の極限として表現できる他の状況でも使用できます。

int関数は、積分を計算したい範囲を引数として渡すことで、定積分に使用できます。

以下を計算するには、

以下のように記述します。

 int(x, a, b) 

例えば、の値を計算するには、以下のように記述します。

 int(x, 4, 9) 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = 65/2 

以下は上記計算のOctave版です。

 pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = x; c = [1, 0]; integral = polyint(c); a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4); display('Area: '), disp(double(a)); 

Octaveはコードを実行し、以下の結果を返します。

 Area: 32.500 

別の解法として、Octaveが提供するquad()関数を使用することもできます。

 pkg load symbolic symbols f = inline("x"); [a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9); display('Area: '), disp(double(a)); 

Octaveはコードを実行し、以下の結果を返します。

 Area: 32.500 

例1

x軸、曲線y = x³−2x+5、およびx = 1とx = 2の垂線で囲まれた面積を計算します。

必要な面積は以下で与えられます。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 f = x^3 - 2*x +5; a = int(f, 1, 2) display('Area: '), disp(double(a)); 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 a = 23/4 Area: 5.7500 

上記計算のOctave版は以下の通りです。

 pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = x^3 - 2*x +5; c = [1, 0, -2, 5]; integral = polyint(c); a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1); display('Area: '), disp(double(a)); 

Octaveはコードを実行し、以下の結果を返します。

 Area: 5.7500 

別の解法として、Octaveが提供するquad()関数を使用できます。

 pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = inline("x^3 - 2*x +5"); [a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2); display('Area: '), disp(double(a)); 

Octaveはコードを実行し、以下の結果を返します。

 Area: 5.7500 

例2

曲線f(x) = x² cos(x)の下の面積を−4 ≤ x ≤ 9で求めます。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを記述します。

 f = x^2*cos(x); ezplot(f, [-4,9]) a = int(f, -4, 9) disp('Area: '), disp(double(a)); 

ファイルを実行すると、MATLABはグラフをプロットします。

出力は以下の通りです。

 a = 8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9) Area: 0.3326 

上記計算のOctave版は以下の通りです。

 pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = inline("x^2*cos(x)"); ezplot(f, [-4,9]) print -deps graph.eps [a, ierror, nfneval] = quad(f, -4, 9); display('Area: '), disp(double(a));