MATLABガイド：多項式の微分を効率的に計算する

数学において、導関数は関数の変数に対する変化率を表します。簡単に言えば、関数が任意の点でどのように変化しているかを示します。導関数は微積分学の基礎であり、物理学、工学、経済学などで変化と運動をモデル化するために広く使用されます。

例えば、時間に対する車の位置を記述する関数がある場合、その関数の導関数は車の速度（位置の変化率）を与えます。

多項式の導関数

多項式は、変数が異なる累乗で現れ、係数と組み合わされた数学的表現です。例えば、P(x) = 3x² + 2x + 5 は2次多項式です。

多項式関数の導関数は、単純なルールを適用して求められます：各項について、係数に指数を掛け、指数を1減らします。この操作を多項式の各項に対して繰り返します。

例えば、以下の多項式を考えます：

 P(x) = 3x³ + 4x² + 2x + 1

導関数 P'(x) は以下のように計算されます：

したがって、導関数は：

 P'(x) = 9x² + 8x + 2

MATLABでは、組み込み関数を使用して多項式の導関数を簡単に計算できます。MATLABでは、多項式は変数の降べき順で係数を含むベクトルで表現されます。

多項式の導関数を求めるには、MATLABの polyder 関数を使用します。

 k = polyder(p) k = polyder(a,b) [q,d] = polyder(a,b)

k = polyder(p) — 係数ベクトル p で与えられる多項式の導関数を計算し、導関数 d/dx p(x) を表す新しい多項式 k(x) を返す。
k = polyder(a,b) — 2つの多項式 a と b の積の導関数を計算し、d/dx[a(x) · b(x)] を表す新しい多項式 k(x) を返す。
[q, d] = polyder(a, b) — 2つの多項式 a と b の商の導関数を計算し、分子 q(x) と分母 d(x) の2つの多項式を返す。これは a(x)/b(x) の導関数を表す。

多項式 P(x) = 4x³ + 3x² + 2x + 1 を考えます。

この多項式はMATLABで係数ベクトルとして表現できます：

 p = [4 3 2 1];

この多項式の導関数を polyder 関数で計算します：

 k = polyder(p);

MATLABコマンドウィンドウで実行すると以下の出力が得られます：

 >> p = [4 3 2 1]; k = polyder(p) k = 12 6 2 >>

したがって、導関数多項式は：

 k(x) = 12x² + 6x + 2

MATLABでは結果 k は [12 6 2] となります。

多項式 p(x) = 5x⁴ - 2x³ + 7x² - 3x + 8 を考えます（注：元文書の係数表現に合わせ修正）。

 p = [5 -2 7 -3 8]

polyder 関数で導関数を求めます：

 k = polyder(p)

実行結果：

 >> p = [5 -2 7 -3 8]; k = polyder(p) k = 20 -6 14 -3 >>

ベクトル k = [20 -6 14 -3] は多項式を表します：

 k(x) = 20x³ - 6x² + 14x - 3

2つの多項式を考えます：

 a(x) = 2x² + 3x + 1 b(x) = 4x + 5

係数ベクトルで表現：

 a = [2 3 1] b = [4 5]

これらの積の導関数を計算：

 k = polyder(a, b);

実行結果：

 >> a = [2 3 1]; b = [4 5]; k = polyder(a, b) k = 24 44 19 >>

導関数多項式：k(x) = 24x² + 44x + 19

 a(x) = 3x³ + 2x² + x + 4 b(x) = x² - 5x + 6

 a = [3 2 1 4]; b = [1 -5 6];

 k = polyder(a, b);

実行結果：

 >> a = [3 2 1 4]; b = [1 -5 6]; k = polyder(a, b) k = 15 -52 27 22 -14 >>

導関数多項式：k(x) = 15x⁴ - 52x³ + 27x² + 22x - 14

 a(x) = 4x² + 3x + 2 b(x) = x² - 2x + 1

 a = [4 3 2]; b = [1 -2 1];

 [q,d] = polyder(a,b)

実行結果：

 >> a = [4 3 2]; b = [1 -2 1]; [q,d] = polyder(a,b) q = -11 4 7 d = 1 -4 6 -4 1 >>

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