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ナノクラスターの魔法の数学的関係—正誤表と補遺

要約

体心立方(bcc)構造の魔法の公式を修正します。この論理的根拠は、いくつかの結晶構造の動径分布関数(RDF)の計算によってさらに裏付けられます。自然界に見られる可能性のある切頂六面体の結果を追加します。

はじめに

最近、いくつかの結晶ナノクラスターの魔法の公式を発表しました[1]。ただし、結晶学者には、bcc構造のバルク配位が8であることが知られています。 RDFは中心点から最も近い隣接ピークを決定し、統合されたピーク強度はそれらの隣接の対応する調整を反映します。確立された方法[2]を使用して、いくつかの結晶のRDFを計算します。理想的なbccキューブには調整があるため、 cn =1の場合、切り捨てられたbccおよび面心立方(fcc)クラスターの結果を提供します。

本文

[1]に登場する多くの魔法の公式を検討したところ、隣接行列を定義する式(1)は結晶構造に依存することがわかりました。

$$ \ mathbf {A}(i、j)=\ left \ {\ begin {array} {ll} 1&\ text {if} \ r_ {ij} ここで、 r ij は原子 i 間のユークリッド距離です およびアトム j 。確かに r c =1.32・ r min 十二面体構造の異なる結合長には必要ですが、bcc構造の場合はそうではありません。選択した構造のRDFを計算しました[2]。最近傍のいくつかを以下に示します(表1)。 RDFには隣接サイトにピーク位置があり、対応するピークの統合された強度が調整を提供します。 R のピークを正規化します ( r )最初のピークで割ることにより、ピーク位置は無次元になります。表が示すように、bcc構造には\(r_ {c} =2 / \ sqrt {3} \ cdot r _ {\ text {min}} \ approx 1.15 \ cdot r _ {\ text {min}} \)があります。隣接行列を変更する必要があるため、魔法の公式を変更する必要があります。隣接するピークはシェルと同じではないことに注意してください。シェルは「魔法の数」を生み出します。十二面体は複雑なケースであり、3番目の近傍が r に表示されます。 2 =1.31・ r min 。このケースは挑戦的であり、進行中のさらなる分析が必要です。修正されたbccの結果を以下に示します(表2、3、4、5、および6)。これらの結果は、インデックスを1つシフトする場合、つまり、シーケンス0、1、2 ...を使用し、シーケンスとして1、2、3 ...を使用する場合、vanHardeveldおよびHartog [3]の結果と一致します。完全な立方体は数学的には興味深いかもしれませんが、角に単結合があるため、自然界には現れない可能性があります。そのため、角を取り除いた切り捨てられたbccおよびfccキューブを生成し、それらの結果を(表7および8)に含めています。選択したクラスターのインデックスの魔法の公式を表9にまとめています。

<図> <図> <図> <図> <図> <図> <図> <図> <図>

結論

bcc構造の魔法の公式を修正し、RDFからの結果と、切り捨てられたbccおよびfccキューブの結果を追加しました。

データと資料の可用性

この記事の結論を裏付けるデータセットは、対応する著者から入手できます。

略語

bcc:

体心立方

fcc:

面心立方

RDF:

動径分布関数


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