コンデンサと微積分

コンデンサには、導体のように安定した「抵抗」がありません。ただし、コンデンサの電圧と電流の間には、次のように明確な数学的関係があります。

小文字の「i」は瞬時を表します 電流。特定の時点での電流の量を意味します。これは、不特定の期間にわたる定電流または平均電流（大文字の「I」）とは対照的です。 「dv / dt」という表現は、計算から借用したもので、時間の経過に伴う電圧の瞬間的な変化率、または特定の時点での電圧の変化率（1秒あたりの電圧の増加または減少）を意味します。瞬時電流が参照される時間。なんらかの理由で、 v という文字 通常、文字 e ではなく、瞬時電圧を表すために使用されます 。ただし、瞬間的な電圧変化率を「de / dt」と表現するのは間違いではありません。

この方程式では、これまでの電気回路の経験に新しい何かが見られます。それは、時間の変数です。 。電圧、電流、および抵抗の量を抵抗器に関連付ける場合、不特定の期間（E =IR; V =IR）にわたって行われた測定を扱っているか、または特定の瞬間に行われた測定を扱っているかは関係ありません。時間（e =ir; v =ir）。時間は抵抗器などのコンポーネントの電圧、電流、抵抗とは無関係であるため、同じ基本式が当てはまります。

ただし、コンデンサでは、電流が急速にどのように関係するかによって、時間が重要な変数になります。 電圧は時間とともに変化します。これを完全に理解するには、いくつかの図が必要になる場合があります。ポテンショメータとバッテリで構成された可変電圧源にコンデンサを接続するとします。

ポテンショメータメカニズムが単一の位置にある場合（ワイパーが静止している場合）、コンデンサの両端に接続された電圧計は一定の（変化しない）電圧を記録し、電流計は0アンペアを記録します。このシナリオでは、電圧が変化しないため、電圧の瞬間的な変化率（dv / dt）はゼロに等しくなります。この式は、dv / dtの1秒あたりの変化が0ボルトの場合、瞬間電流（i）がゼロでなければならないことを示しています。物理的な観点からは、電圧が変化しないため、コンデンサのプレートに電荷を追加または削除するための電子の動きは必要ないため、電流は発生しません。

ここで、ポテンショメータのワイパーをゆっくりと着実に「上」方向に動かすと、コンデンサの両端に徐々に大きな電圧が印加されます。したがって、電圧計の表示はゆっくりと増加します：

ポテンショメータワイパーがレートのように移動していると仮定した場合 コンデンサ両端の電圧増加が安定している場合（たとえば、毎秒2ボルトの一定速度で電圧が増加する場合）、式のdv / dt項は固定値になります。方程式によれば、このdv / dtの固定値に、ファラッド単位のコンデンサの静電容量（これも固定）を掛けると、ある程度の大きさの固定電流が発生します。物理的な観点から、コンデンサの両端の電圧が増加すると、プレート間の電荷差が増加する必要があります。したがって、ゆっくりと安定した電圧増加率の場合、コンデンサにゆっくりと安定した電荷の速度が構築されている必要があります。これは、ゆっくりと安定した電流の流れに相当します。このシナリオでは、コンデンサが充電され、負荷として機能しています。 、コンデンサが電界にエネルギーを蓄積すると、電流が正極板に流入し、負極板から流出します。

ポテンショメータを同じ方向に、ただしより速い速度で動かすと、電圧変化の速度（dv / dt）が大きくなり、コンデンサの電流も大きくなります。

数学の学生が最初に微積分を研究するとき、彼らは変化率の概念を探求することから始めます。 さまざまな数学関数用。 派生物 は、最初で最も基本的な微積分の原理であり、ある変数の変化率を別の変数で表したものです。微積分学の学生は、抽象的な方程式を学びながら、この原理を学ぶ必要があります。電気回路など、自分に関係のあることを学びながら、この原理を学ぶことができます。

コンデンサの電圧と電流のこの関係を微積分学で表すと、コンデンサを流れる電流は微分です。 時間に対するコンデンサ両端の電圧の。または、簡単に言えば、コンデンサの電流は、コンデンサの両端の電圧が変化する速度に正比例します。コンデンサの電圧がポテンショメータの回転ノブの位置によって設定されるこの回路では、コンデンサの電流はノブを回す速さに正比例すると言えます。

ポテンショメータのワイパーを以前と同じ方向（「上」）に移動する場合、ただし速度を変えると、次のようなグラフが得られます。

任意の時点で、コンデンサの電流は変化率、つまり勾配に比例することに注意してください。 、コンデンサの電圧プロットの。電圧プロットラインが急速に上昇している場合（急勾配）、電流も同様に大きくなります。電圧プロットの傾きが緩やかな場合、電流は小さくなります。電圧プロットの1つの場所（ポテンショメータが動いていない期間を表すゼロスロープ）で、電流はゼロに低下します。

ポテンショメータワイパを「下」方向に動かすと、コンデンサの電圧が低下します。 増加するのではなく。この場合も、コンデンサは電流を生成することによってこの電圧の変化に反応しますが、今回は電流が反対方向になります。コンデンサの電圧を下げるには、コンデンサのプレート間の電荷の差を小さくする必要があります。発生する可能性がある唯一の方法は、電流の方向を逆にして、コンデンサを充電するのではなく放電することです。この放電状態では、電流が正極板から出て負極板に入ると、コンデンサはソースとして機能します。 、バッテリーのように、蓄積されたエネルギーを回路の残りの部分に放出します。

この場合も、コンデンサを流れる電流の量は、コンデンサの両端の電圧変化率に正比例します。 減少の効果の唯一の違い 電圧と増加 電圧は方向です 電流の流れ。時間の経過に伴う同じ電圧変化率（増加または減少）の場合、電流の大きさ（アンペア）は同じになります。数学的には、電圧の変化率の低下は負のとして表されます。 dv / dt数量。式i =C（dv / dt）に従うと、電流の数値（i）も同様に負の符号になり、コンデンサの放電に対応する流れの方向を示します。

関連するワークシート：

• コンデンサワークシート
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