コンデンサと微積分：電圧変化が電流を駆動する仕組み
コンデンサは導体のように固定抵抗を持ちません。その振る舞いは電圧と電流の間に明確な数学的関係で定義されます：
この式でiは瞬時電流、すなわち特定瞬間の電流量を表し、一定期間の平均電流（I）とは区別されます。項dv/dtは微積分由来で、電圧の時間に対する瞬時変化率（ボルト/秒）を意味します。慣習的にvで瞬時電圧を表しますが、de/dtと書いても意味は変わりません。
抵抗器では電圧・電流・抵抗が時間に依存しませんが、コンデンサの電流はその電圧がいかに速く変化するかに直接結びついています。時間が重要な変数になります。これを説明するため、電池とポテンショメータで作った可変電圧源にコンデンサを接続した例を考えます：
ポテンショメータのワイパーが静止していれば、コンデンサ両端電圧は一定で、電流計はゼロを示します。ここではdv/dt＝ゼロなので、式は瞬時電流ゼロを予測します。電圧が定常なら電子流は不要です。
ワイパーをゆっくり一定速度で上向きに動かすと、コンデンサ電圧は緩やかに上昇します。電圧計は緩やかな上昇を示し、電圧上昇率が一定（例：2V/秒）と仮定すると、dv/dtは固定値になります。これにコンデンサの静電容量を掛けると、コンデンサを充電する定常電流が得られます。この状況ではコンデンサは負荷として振る舞い、正極板に電流が入り、負極板から出ていき、電界にエネルギーが蓄積されます。
ワイパー速度を上げるとdv/dtが大きくなり、結果としてコンデンサ電流も増加します。関係は線形です：電圧変化率が大きければ比例して電流も大きくなります。
微積分を学ぶ学生は最初に変化率を学びます。ここでは、コンデンサを流れる電流が、その電圧の時間微分そのものです：
\[\displaystyle i(t) = C\frac{dv(t)}{dt}\]
したがって、コンデンサ電流は電圧がいかに急速に変化しているかに直接比例します。ワイパーを上向きに動かせば電流はその動きの速度に追従し、下向きに動かせば電圧低下、微分が負になり、電流方向が反転してコンデンサは放電します。
異なるワイパー速度での電圧-時間グラフを見ると、任意瞬間の電流がその瞬間の電圧曲線の傾きに等しいことがわかります。急傾斜は大電流、緩傾斜は小電流、平坦（傾きゼロ）はゼロ電流に対応します。
要約すると、コンデンサの電流はその電圧の時間微分です。電流の大きさは電圧変化率のみに依存し、方向は電圧が上昇か下降かによります。
関連ワークシート：
- コンデンサワークシート
- 電気回路のための微積分ワークシート
産業技術