複素数を用いたAC電圧加算の解説

このチュートリアルでは、3つの交流（AC）電圧源が直列接続されたときにどのように結合するかを、複素数演算を用いて正味電圧を決定する方法で探ります。このアプローチは、オームの法則、キルヒホッフの電圧・電流法則、ネットワーク解析手法といった馴染み深いDC回路法則が、すべての量をフェーザ（複素）形式で表現し、すべての電源が同一周波数で動作する限り、AC解析にも持ち越せることを示しています。

まず、以下の図のように3つの電源を配置します。極性マークはフェーザ方向が直接加算されるように選択されており、総電圧を単純なベクトル和として記述できます：

KVLにより複素電圧の加算が可能。

問題文に明示的な周波数の指定はありませんが、暗黙的に3つの電源が同じ周波数を共有していると仮定されます。これにより位相関係が一定に保たれ、DCスタイルのルールが適用可能になります。

総電圧の代数的表現は：

V_total = V₁ + V₂ + V₃

グラフィカルには、フェーザ加算は以下の図のように示されます。

ベクトル電圧のグラフィカル加算。

結果のベクトルは、22V電源の始点から15V電源の先端に至るもので、次の図に示す通りです。

結果ベクトルは3つの元の電圧のベクトル和に等しい。

図を使わずに結果の大きさと位相を計算するには、各極形式フェーザを直交形式に変換し、加算してから再び極形式に戻します。計算結果は：

V_total = 36.8052 V ∠ –20.5018°

実際には、ボルトメータは36.8052Vの大きさのみを表示し、オシロスコープを用いて15V基準電源に対する–20.5018°の位相シフトを測定できます。同様に、ACアンペアメータは電流の大きさを報告しますが位相角は示しません。

直交形式は演算に便利ですが、測定において直接的な経験的対応物はありません。したがって、最終結果を極形式に戻して実機器と比較するのが常套手段です。

解析結果を検証するため、簡単なSPICEシミュレーションを実行します。開放回路エラーを避けるため、10kΩの抵抗を含めています。選択した60Hzの周波数は、抵抗器が周波数非依存であるため任意ですが、コンデンサやインダクタなど他の素子では周波数依存性が生じます。

SPICE回路図。

v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60 ; 60Hzを使用
.print ac v(3,0) vp(3,0) ; デフォルト値
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

シミュレーションは解析結果を確認します：総電圧 36.81V ∠ –20.5°。この一見直感に反する結果—15V、12V、22Vの電源を直列につないでわずか36V強しか得られない—は、位相関係がAC回路で建設的または破壊的干渉を引き起こすことを示しています。

次に、12V電源の極性を反転させた効果を調べます。リードを反転させるとベクトル方向が変わりますが、公称位相角は変わりません。数学的には、角度に180°を加える（12V ∠ 215°）か、大きさを負にする（–12V ∠ 35°）のいずれかで表現できます。どちらのアプローチも同じ直交形式の結果を生みます：

直交形式では、新しい和は：

V_total = 30.4964 V ∠ –60.9368°

SPICEで検証します：

ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 1 2 ac 12 35 sin ; ノード番号2と1の反転
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

まとめ

• すべてのDC回路法則は、電力計算を除き、すべての変数が複素形式で共通の周波数を持つ限り、AC回路にも適用される。
• AC電源の極性反転は、角度に180°を加えるか、大きさを負にするかのいずれかで表現できる。
• AC回路での測定値は、計算されたフェーザの極形式の大きさに対応する。直交形式の値は中間的な代数ステップでのみ有用。

関連ワークシート

• ACネットワーク解析ワークシート
• キルヒホッフの法則ワークシート
• オームの法則ワークシート