ミルマンの定理: 実例付きAC/DC回路解析ステップバイステップガイド
ACおよびDC回路におけるミルマンの定理 - ステップバイステップ解決例
ミルマンの定理
ミルマンの定理は、回路が並列ブランチのみを持つ場合の回路解析で使用されます。したがって、この定理は回路の末端の電圧を計算するのに役立ちます。ミルマンの定理は、並列ネットワークを含む回路にのみ適用可能です。
ミルマンの定理は、テブナンの定理とノートンの定理の組み合わせです。時々、この定理は並列発電機定理とも呼ばれます。この定理は、電気工学教授ジェイコブ・ミルマンによって提案され、彼の名前にちなんでミルマンの定理と命名されました。
ミルマンの定理は次のように述べています：
つまり、与えられたネットワークの並列ブランチ間の電圧を求めることができます。この定理は、以下の図のように複数の電源が接続されている場合、ネットワークの複雑さを軽減します。
ミルマンの定理によると、負荷両端の電圧は：
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数学的方程式
上図に示すように、n個の電圧源（E1、E2、E3、…、En）を持つ回路があります。これらの電源の内部抵抗はそれぞれR1、R2、R3、…、Rnです。ミルマンの定理によると、任意の回路は以下のネットワークで置き換えられます。以下の図はミルマンの等価回路を示しています。
電圧源（E）の値と等価抵抗（R）の値を求める必要があります。上記の回路はテブナンの等価回路と似ています。したがって、電圧源（E）はテブナンの等価電圧（VTH）と同じであり、等価抵抗はテブナンの等価抵抗（RTH）と同じであると言えます。
計算を容易にするためにノートンの等価回路を見つけます。そのために、電源変換を行います。すべての電圧源を電流源に変換します。
電圧源と直列に内部抵抗が接続されています。電源変換後、電圧源は電流源に変換され、内部抵抗は電流源と並列に接続されます。したがって、上記の回路は以下のように変換されます。
オームの法則によると、電流源の値はE1/R1、E2/R2、E3/R3、…、En/Rnになります。ノートンの等価電流（IN）を求めるには、負荷端子を短絡し、そのブランチを通過する電流を求めます。
ノードA1で、電流は2つの経路に分岐します。1つは抵抗R1を通る経路、もう1つは短絡されたブランチからの経路です。電流は常に低抵抗経路を流れることが知られています。したがって、この条件では、電流全体が短絡されたブランチを通ります。抵抗を通る電流はゼロです。
同じことがノードA2、A3、…、Anのすべての電源で起こります。すべての抵抗を通る電流はゼロです。
ノードA2では、ノードA1からの電流が加算されます。同様に、ノードA3ではノードA2からの電流が加算されます。したがって、ノードAnでは、すべてのノードからの電流が加算されます。総電流はすべての電流の合計であり、ノートン電流（IN）として知られています。
ノートンの等価電流が求まりました。次にノートンの等価抵抗を求める必要があります。そのためには、回路に存在するすべてのエネルギー源を、電流源を開放し、電圧源を短絡することで除去します。
上図では電流源のみがあります。これらの電流源を開放することで除去します。また、等価抵抗を計算するために負荷を除去する必要があります。したがって、残りの回路は以下のようになります。
上図に示すように、すべての抵抗器が並列接続されています。この並列組み合わせが等価抵抗に等しくなります。
Req = RN = R1 || R2 || R3 … || Rn
これらの値をノートンの等価回路に代入すると、以下のようになります。
このノートンの等価回路をテブナンの等価回路に変換すると、ノートン電流INとノートン抵抗RNからEとRの値を計算できます。
オームの法則によると：
E = IN × RN
上記の方程式をn個のブランチの一般形にしましょう。
電圧源の値が求まりました。等価抵抗の値はノートンの等価抵抗と等しいため、ミルマンの等価回路（図2）を得ることができます。
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ミルマンの定理に従う手順
ステップ1 ミルマンの定理は、より多くの並列ブランチを持つネットワークまたは回路にのみ適用可能です。したがって、電圧源が内部抵抗と直列に接続された多数の並列ブランチを持つ回路を解く必要があると仮定します。
ステップ2 直列に接続された内部抵抗または抵抗と電圧源のリストを作成します。
ステップ3 電圧源を短絡して、負荷端子間の等価抵抗（R）を求めます。
ステップ4 ミルマンの定理を適用し、負荷端子間の電圧（E）の値を求めます。そのために式1を使用します。この電圧は負荷両端の電圧です。
ステップ5 RとEの値をミルマンの等価回路（図2）に代入します。
ステップ6 ループにKVLを適用して、負荷を通過する電流を求めます。
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ミルマンの定理を使用したDC回路の解析
例 #1
ミルマンの定理を使用して、負荷端子の電流と電圧を求めてください。
ステップ1 上図を観察すると、すべての4つのブランチが並列接続されていることがわかります。ミルマンの定理を適用できます。
ステップ2 負荷ブランチを除いて3つのブランチがあります。したがって、3つの電圧と3つの抵抗があります：
E1 = 12V および R1 = 2Ω
E2 = 0V および R1 = 4Ω
E3 = 16V および R1 = 4Ω
ステップ3 等価抵抗を求めるには、電圧源を短絡し、負荷端子を開放します。したがって、残りの図は以下のようになります。
Req = 1Ω
上図に示すように、すべての抵抗が並列接続されています。したがって、等価抵抗は：
ステップ4 ミルマンの定理を適用します。
この例では3つのブランチがあるため、n=3を使用します。
上記の値をこの式に代入します。
E = 10V
これが負荷端子間の電圧です。
ステップ5 これらの値をミルマンの等価回路に代入します。
ステップ6 オームの法則によると、
IL = 1A
したがって、負荷両端の電圧は10V、負荷を通過する電流は1Aです。
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ミルマンの定理を使用したAC回路の解析
例 #2
ミルマンの定理を使用して、負荷端子の電流と電圧を求めてください。
ステップ1 上図に示すように4つのブランチが並列接続されています。したがって、ミルマンの定理を適用できます。
ステップ2 負荷ブランチを考慮しない場合、3つのブランチがあります。計算を容易にするために、電圧とインピーダンスをリストします。AC回路の場合、抵抗の代わりにインピーダンスという用語を使用する必要があります。
電圧源の値は極形式で与えられています。しかし、インピーダンスの値は直交形式で与えられています。そのため、電圧源の値を極形式に変換する必要があります。
V1 = 12∠60° = 6 + j10.392
V2 = 9∠0° = 9 + j0
V3 = 6∠30° = 5.196 + j3
インピーダンスは直交形式で与えられています。そのままリストします。
Z1 = 6Ω
Z2 = j6Ω
Z3 = -j6Ω
ステップ3 等価インピーダンスを求めます。上記の例と同様に、電圧源を短絡して除去する必要があります。残りの回路は以下のようになります。
ここでは、すべてのインピーダンスが並列接続されています。したがって、等価インピーダンスは：
Zeq = 6Ω
ステップ4 ミルマンの定理を適用します。
ここでは3つのブランチがあるため、n=3です。
V = 6 + 1j0.392 - j9 + j5.196 - 3
V = 3 + j6.588
RMS値を求める必要があります。
V = 7.23V
ステップ5 これらの値をミルマンの等価回路に代入します。
ステップ6 オームの法則によると、
IL = 0.9A
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ミルマンの定理の制限
ミルマンの定理はネットワークを解くのに非常に役立ちます。しかし、以下にリストするいくつかの制限があります。
- この定理は、独立電源の間に従属電源がある回路には適用できません。
- 2つ未満の独立電源を持つ回路には、この定理は役立ちません。
- この定理は、直列要素のみを持つ回路には適用できません。
- 電源の間に要素が接続されている場合、この定理は適用できません。
ミルマンの定理の応用
ミルマンの定理は、複雑な回路を解くためにネットワーク解析で広く使用されています。ミルマンの定理の応用は以下の通りです。
- 多数の並列ブランチと複数の電圧源がある場合、負荷インピーダンスの電圧と電流を求めるのに最も有用です。
- この定理の計算は簡単です。より多くの方程式を使用する必要がありません。
- この定理は、オペアンプなどの複雑な要素を持つ複雑な回路を解くのに使用されます。
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