ブール代数の主要な恒等式：包括的概観

数学において、恒等式とは、その変数の取りうるすべての値に対して真となる命題のことです。

代数的恒等式 x + 0 = x は、「ゼロ」を「何らかの値（x）」に加えると、その「何らかの値」そのものに等しくなることを示しています。xがどんな値であってもです。

通常の代数と同様に、ブール代数にも、ブール変数の二値状態に基づく独自の恒等式があります。

加法の恒等式

ゼロの加算

最初のブール恒等式は、「何らかの値」と「ゼロ」の和は、元の「何らかの値」と同じであるというものです。

この恒等式は、実数代数における対応するものと異なりません：

 

 

Aの値が何であれ、出力は常に同じになります：A=1なら出力も1、A=0なら出力も0です。

1の加算

次の恒等式は、通常の代数では決して見られない、明確に異なるものです。

ここでは、「何らかの値」と「1」の和が「1」になることがわかります：

 

 

Aの値が何であれ、Aと1の和は常に1になります。

ある意味で、「1」の信号が、論理回路におけるAの効果を上書き（オーバーライド）し、出力を論理レベル1に固定します。

同じ量の加算

次に、AとAを加える効果、すなわちORゲートの両入力を接続し、同じ信号で駆動する場合を調べます：

 

 

実数代数では、2つの同一変数の和は元の変数の2倍（x + x = 2x）になりますが、ブール数学の世界には「2」という概念がなく、只有1と0しかないため、A + A = 2Aとは言えません。

したがって、ブール量をそれ自身に加えると、和は元の量と等しくなります：0 + 0 = 0、かつ1 + 1 = 1。

量とその補数の加算

加法恒等式に、ブール代数特有の補数の概念を導入すると、興味深い効果が現れます。

任意の変数とその補数の間には必ず一つの「1」の値が存在し、任意のブール量と1の和は1であるため、変数とその補数の和は必ず1になります：

 

乗法の恒等式

ブール加法恒等式が4つ（A+0, A+1, A+A, A+A'）あるのと同様に、乗法恒等式も4つあります：A×0, A×1, A×A, A×A'。うち最初の2つは、通常の代数における対応する式と変わりません：

0または1による乗算

 

量のそれ自身による乗算

3番目の乗法恒等式は、ブール量をそれ自身で乗じた結果を表します。

通常の代数では、変数とそれ自身の積はその変数の平方になります（3 × 3 = 3² = 9）。

しかし、「平方」という概念は量「2」を暗示し、これはブール代数では意味を持たないため、A × A = A²とは言えません。

代わりに、ブール量とそれ自身の積は元の量と等しいことがわかります。なぜなら、0 × 0 = 0かつ1 × 1 = 1だからです：

 

量とその補数の乗算

4番目の乗法恒等式は、変数の補数を用いるため、通常の代数には対応するものがありません。これはブール数学特有の概念です。

任意の変数とその補数の間には必ず一つの「0」の値が存在し、任意のブール量と0の積は0であるため、変数とその補数の積は必ず0になります：

 

 

以上をまとめると、加法に関する4つの基本ブール恒等式と、乗法に関する4つの基本恒等式があります：

 

二重補数

補数に関連するもう一つの恒等式は、二重補数です：変数を2回反転させることです。

変数を2回補数化する（または偶数回補数化する）と、元のブール値に戻ります。

これは実数代数における負の乗算（-1を掛ける）と類似しています：偶数回の負化は打ち消し合い、元の値を残します：

 

 

関連ワークシート：

• ブール代数ワークシート