4変数カルノー図のマスター：設計、簡略化、実践例

グレイコード順序を理解すれば、3変数カルノー図を4変数に拡張するのは簡単です：3変数マップの列順序を4変数グリッドの左側にコピーします。下図を参照してください。

 

4変数Kマップの簡略化

以下の例は、代数だけでは面倒なブール式をカルノー図が如何に簡略化するかを示します。代数操作も可能ですが、Kマップは特に多くの簡略化が必要な場合に高速で視覚的なアプローチを提供します。

 

 

以下のブール式は7つの積項を含みます。これらはKマップ上に順次プロットされます：最初の項 A'B'CD は上段第3セル（A=0, B=0, C=1, D=1）を占めます。以降の項も同様に左から右、上から下へマッピングされます。可能な限り最大のグループを囲むと、4セルの2グループが識別されます。水平グループから簡略化項 AB、垂直グループから CD が得られ、結果の積和式は Out = AB + CD となります。

マップの四隅をナプキンを包むように折り曲げると、4隅セルが物理的に隣接します。

 

 

これら4セルは変数 B' と D'（両方0）を共有し、A と C が変化します。したがって、このグループは単一積項 Out = B'D' に簡略化されます。

次の例では、上下端を筒状に巻いて8セル隣接を作ると想像してください。

 

 

ここでは8セルグループが共通変数 B=0 を共有し、元の8項式から簡略化項 Out = B' が導かれます。

4変数Kマップにおける積項

9積項を含む式を考えます。うち3項は3ブール変数のみを含みます。Kマップでは4変数項は単一セルを占め、3変数項はセルペアをカバーします。マッピングは以下の通り：

 

 

2つの重なり合う8セルグループを形成（隅セルを共有）することで、最も効率的な簡略化 Out = B' + D を達成します。

以下は未簡略化式をKマップにマッピングした図です。

 

 

3セルがペアに結合し、1つの孤立セルがマージできません。孤立項 ABCD はそのまま残り、結果は Out = B'C'D' + A'B'D' + ABCD となります。

多くの場合、複数の最小コスト解が存在します。以下の例は、それぞれ4積項（3変数）の2つの等価解を示します。

 

 

両解とも、ゲート数と入力数が最少という最小コスト基準を満たしますが、グループ配置が異なります。

簡略化時は、まず4セルグループを特定します。以降のグループは残りセルをカバーするように選び、各グループサイズが2の累乗（1, 2, 4, 8, …）になるようにします。3セルグループは避けてください。

別の例でも2つの有効な最小コスト解を示します。最初に2つの4セルグループを形成後、残りの単一セルをどちらのグループとペアリングするかで、最終項が ABC' または ABD のいずれかになります。

 

 

両ケースとも最終式は複雑さの面から等価です。

最後に、カルノー図アプローチとブール代数を比較します。C' をプロットするとマップ左半分（8セル）をカバー。残りの単一 ABCD セルが隣接セルとペアになり ABD に簡略化。全体結果は Out = C' + ABD となり、代数簡略化が容易な稀なケースを示します。

 

 

これらの例は、カルノー図が迅速かつ信頼性の高い論理最小化にいかに強力かを物語っています。

関連ワークシート：

• カルノー図ワークシート