カルノー図マスター：真理値表とブール式でロジックを簡略化

ベル研究所の通信エンジニア、モーリス・カルノーが1953年に電話交換回路のデジタルロジック設計中にカルノー図を考案しました。

カルノー図は、代数的操作よりも高速かつ直感的に複雑なブール関数を簡略化する視覚ツールです。冗長項をまとめることで、必要な論理ゲートと入力数を減らし、ハードウェア設計者に直接的なコスト削減をもたらします。

実務では、カルノー図の読み方を理解すれば、エンジニアはブール代数よりもカルノー図を簡略化に好んで使用します。

以下に、同じ2入力ロジック関数の5つの異なる表現を示します：リレーラダーダイヤグラム、ゲート回路図、真理値表、カルノー図、ブール式。すべて等価であり、どの形式を選ぶかは設計タスクに最適な形式によります。

2入力A、Bの場合、各々0または1なので、2² = 4通りの出力組み合わせがあります。カルノー図は真理値表を正方形グリッドに再配置し、隣接セルが1変数のみ異なるようにすることで、パターンを明確にします。

各真理値表出力は特定のKマップセルに対応します。例えば、A=0、B=0の出力αはマップの左上隅に現れます。同じマッピングがβ、χ、δにも適用されます。

Kマップでの隣接（水平または垂直）は共有ブール変数を示します。セルαとχはB′を共有、βとδはBを共有、αとβはA′を共有、χとδはAを共有。これらの関係を認識すれば、素早いグループ化と簡略化が可能です。

1. 真理値表をカルノー図に転写

解答：真理値表で「1」を含む2行を特定し、対応するKマップセルに「1」を配置してグループ化に進みます。

2. Kマップからブール式を導出

解答：隣接する「1」をグループ化し、グループ内で一定の変数を残し、変化する変数を削除。例では Out = B となります。

3. 最小コスト簡略化のための複数グループ化

解答：2つの「1」を水平にグループ化して Out = A′ を得ます。

4. マップ全体でのグループ結合

解答：真理値表をマッピング後、垂直グループで Out = B、水平グループで Out = A を得て、最終式は Out = A + B という最簡形になります。

5. 重なりグループの扱い

解答：1つのセルが複数グループに属する場合、それを再利用してより大きなグループを形成し、式の長さをさらに短縮します。

例1：

プロセス：元回路をブール式に変換、積項をKマップにマッピング、セルグループ化、簡略化式導出、最小化回路の再描画。

例2 – 簡略化不可能な場合：

場合によっては、マップがロジックがすでに最小形であることを示します。普及した排他的ORゲート（7486 IC）も、それ以上簡略化できないためそのまま使われることが多いです。

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