ノード電圧法の習得：精密回路解析のために

ノード電圧法は、KCL方程式系の観点から未知ノード電圧を解く回路解析手法です。電圧源を等価電流源に置き換え、オーム単位の抵抗値をジーメンス単位の等価コンダクタンス（G=1/R）に置き換えるため、一見奇妙に見えます。ジーメンス（S）はコンダクタンス単位で、旧ムー単位を置き換えました。S = Ω^-1。また S = mho（廃用）。

ノード電圧計算法

従来の電圧源を持つ回路から開始。共通ノードE₀を基準点として選択。ノード電圧E₁とE₂をこの点に関して計算。

電圧源と関連直列抵抗を等価電流源と並列抵抗に置き換え、修正回路を得る。抵抗コンダクタンスをジーメンスで置換。

I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0.5 S
G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0.25 S
G3 = 1/R3 = 1/2.5 Ω = 0.4 S
G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0.2 S
G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1.0 S

並列コンダクタンス（抵抗）はコンダクタンス加算で結合可能。回路再描画は省略。ノード電圧法適用準備完了。

GA = G1 + G2 = 0.5 S + 0.25 S = 0.75 S
GB = G4 + G5 = 0.2 S + 1 S = 1.2 S

一般的ノード電圧法を導出するため、未知ノード電圧V₁とV₂でKCL方程式対を1度書き、パターンを示します。

GAE1 + G3(E1 - E2) = I1 (1)
GBE2 - G3(E1 - E2) = I2 (2)
(GA + G3)E1 - G3E2 = I1 (1)
-G3E1 + (GB + G3)E2 = I2 (2)

上記最後の方程式対の係数はパターンを示すよう再配置。第1ノードに接続されたコンダクタンス和が式(1)第1電圧の正係数。第2ノード接続コンダクタンス和が式(2)第2電圧の正係数。他係数は負で、ノード間コンダクタンスを表す。両式とも右辺は各ノード接続電流源に等しい。このパターンで検査による方程式作成が可能。これがノード電圧法のルールにつながります。

ノード電圧ルール：

• 直列抵抗付き電圧源を、並列抵抗付き等価電流源に変換。
• 抵抗値をコンダクタンスに変更。
• 基準ノード(E₀)選択。
• 未知電圧(E₁)(E₂)...(E_N)を残りノードに割り当て。
• ノード1,2,...NそれぞれのKCL方程式作成。第1式第1電圧の正係数はそのノード接続コンダクタンス和。第2式第2電圧の係数は第2ノード接続コンダクタンス和。第3電圧、第3式以降も同様。これら係数は対角線上に並ぶ。
• 他全係数は負で、ノード間コンダクタンスを表す。第1式第2係数はノード1→2コンダクタンス、第3係数はノード1→3。他式も同様に負係数埋め。
• 方程式右辺は各ノード接続電流源。
• 連立方程式系を未知ノード電圧について解く。

ノード電圧法の例

例： 上図の数値で方程式立てノード電圧解く。

解：

(0.5+0.25+0.4)E1 -(0.4)E2= 5
-(0.4)E1 +(0.4+0.2+1.0)E2 = -4
(1.15)E1 -(0.4)E2= 5
-(0.4)E1 +(1.6)E2 = -4
E1 = 3.8095
E2 = -1.5476

2方程式解は電卓やOctave（省略）で可能。元の電圧源スキーマに基づくSPICEで検証。電流源版でもシミュレーション可能。

V1 11 0 DC 10
V2 22 0 DC -4
r1 11 1 2
r2 1 0 4
r3 1 2 2.5
r4 2 0 5
r5 2 22 1
.DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1
.print DC V(1) V(2)
.end

v(1) v(2)
3.809524e+00 -1.547619e+00

もう1例。3ノードあり。回路図にコンダクタンス記載せず。ただしG₁=1/R₁等。

検査で方程式立てる3ノード。係数は式(1)E₁、式(2)E₂、式(3)E₃で正。これらは各ノード接続コンダクタンス和。他全係数は負でノード間コンダクタンス。右辺は関連電流源、ノード1の0.136092Aのみ。他式は電流源なしでゼロ。図の抵抗コンダクタンス計算は怠惰なので省略。添字付きG'が係数。

(G1 + G2)E1 -G1E2 -G2E3 = 0.136092
-G1E1 +(G1 + G3 + G4)E2 -G3E3 = 0
-G2E1 -G3E2 +(G2 + G3 + G5)E3 = 0

怠惰なので逆数抵抗と逆数抵抗和をOctave「A」行列に入力、「A=」後にOctaveにコンダクタンス行列計算させる。初期入力行が長く3行に分割。これまでと異なる。「A」行列は開始/終了角括弧で区切り。列要素はスペース区切り。行は「改行」区切り。カンマ/セミコロン不要。ただし「b」の電流ベクトルはセミコロン区切りで列ベクトル化。

octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
A =
0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
-0.0066667 0.0200000 -0.0100000
-0.0200000 -0.0100000 0.0340000

octave:13> b = [0.136092;0;0]
b =
0.13609
0.00000
0.00000

octave:14> x=A\b
x =
24.000
17.655
19.310

「A」行列対角係数が正、他全係数が負であることに注意。

解は電圧ベクトルとして「x」に。E₁=24.000V、E₂=17.655V、E₃=19.310V。これら3電圧は前のメッシュ電流とSPICE解（不平衡ブリッジ問題）と一致。偶然ではなく、0.13609A電流源があの問題の24V電圧源と同等になるよう意図的に選ばれたため。

要約

• コンダクタンスと電流源のネットワークが与えられたとき、ノード電圧法はKCL方程式から未知ノード電圧を解く。
• 検査による方程式作成詳細は上記ルール参照。
• コンダクタンスGの単位はジーメンスS。コンダクタンスは抵抗の逆数：G=1/R

関連ワークシート：

• 精密ダイオード回路ワークシート
•  キルヒホッフの法則ワークシート