クラメールの公式計算機: 2元・3元一次方程式系を高速に解く

クラメールの公式 & 計算機: 線形回路解析 | ステップバイステップ解説例付き

今日は、「クラメールの公式」として知られる、シンプルだが強力な回路解析技法を共有します。

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更新: オンラインクラメールの公式計算機を追加しました。2元方程式系と3元方程式系の両方を解けます。本記事の両セクションで計算機をチェックしてください。

以下は、クラメールの公式を用いて複雑な電気回路/ネットワークを解くステップバイステップの解説例チュートリアルです。

2×2（2元方程式系）クラメールの公式計算機

例題 2: メッシュ解析を用いて、以下の回路の3つのメッシュ電流を求めよ。簡略化にクラメールの公式を使用。

まず、各メッシュにKVLを適用し、その式を書きます。
-7+1(i₁−i₂) +6+2(i₁−i₃) = 0
1(i₂−i₁) + 2i₂ + 3(i₂−i₃) = 0
2(i₃−i₁) – 6+3(i₃−i₂) +1i₃ = 0

整理すると、
3i₁ − i₂ − 2i₃ = 1 … 式 (1)
−i₁ + 6i₂ − 3i₃ = 0 … 式 (2)
−2i₁ − 3i₂ + 6i₃ = 6 … 式 (3)

上記式を行列形式で表すと、
3i₁ − i₂ − 2i₃ = 1
−i₁ + 6i₂ − 3i₃ = 0
−2i₁ − 3i₂ + 6i₃ = 6

係数行列式 Δ を求めます。どうやって？ 下図で詳細を確認してください。画像をクリックで拡大

全ステップは以下の通り。

Δ = +3 (6 × 6) − (−3 × −3) − (−1 (−1 × 6)−(−2 × −3)) + (−2 (−1 × −3) − (−2 × 6))
Δ = 81 − 12 − 30 = 39

同様の方法で Δ₁ を求めます。ただし、行列の第1列を「解答列」で置き換えます。詳細は下図参照。

Δ₁ の全ステップ。ここでは第1列の「青い数値」を「黒い数値」で置き換えました。

= +1(36−9) − (−1[0+18]) −2(0−36) = 27 + 18 + 72
Δ₁ = 117

同様に Δ₂ を求めます。第2列を「解答列」で置き換えます。すなわち、中央列の「赤い数値」を「黒い数値」で置き換えます。

= +3 (0 +18) −1[(-6)−(+6)] −2(-6−0) = 54+12+12 = 78
Δ₂ = 78

最後に Δ₃ を求めます。第3列を「解答列」で置き換えます。すなわち、第3列の「緑の数値」を「黒い数値」で置き換えます。

= +3 (6 × 6) − (−3 × 0) – [−1(−1 × 6) − (−2 × 0)] + [1(−1) × (−3) − (−2) × (6)]
= 108 + 6 + 15
Δ₃ = 117

未知電流値 i₁, i₂, i₃ を求めます。クラメールの公式によれば、
変数 i₁ = Δ₁/Δ, i₂ = Δ₂/Δ および i₃ = Δ₃/Δ.

したがって、
i₁ = Δ₁/Δ = 117/39 → i₁ = 3A
i₂ = Δ₂/Δ = 78/39 → i₂ = 2A
i₃ = Δ₃/Δ = 117/39 → i₃ = 3A.

クラメールの公式をよく理解していただけたと信じます。ステップバイステップチュートリアルをお楽しみいただけましたか。友人と共有するのをお忘れなく。下のボックスにメールアドレスを入力して購読してください。さらにこのようなチュートリアルをお送りします。ありがとうございました。

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