CNC機械のプログラマブル軸と位置決め座標系：デカルト座標をマスターする

学習目標

このユニットを修了すると、以下のことができるようになります：

• デカルト座標系を理解する
• 平面上のデカルト座標を理解する
• 三次元空間のデカルト座標を理解する
• 4つの象限を理解する
• 極座標と直交座標の違いを説明できる
• CNC加工機のプログラマブル軸を識別できる

デカルト座標系

デカルト座標を用いると、平面上または三次元空間内の点の位置を指定できます。点のデカルト座標（直交座標）は、2次元では数の組（x, y）、3次元では数の組み合わせ（x, y, z）で、座標軸からの符号付き距離を表します。まず、方向（軸）と基準位置（原点）を定義する座標系を理解する必要があります。座標系は直交座標系または極座標系のいずれかです。

直線上の点が実数直線と1対1対応できるように、平面上の点も2本の座標線を用いて実数の組と1対1対応させられます。これを行うには、原点で交わる2本の垂直な座標線を構築します。便宜上、x軸とy軸に等間隔の目盛りを原点から両方向（左・右、上・下）に割り振ます。一方の数直線を垂直にし、正の方向を上向き、負の方向を下向きにします。もう一方を水平にし、正の方向を右向き、負の方向を左向きにします。これら2本の数直線を座標軸と呼び、水平線をx軸、垂直線をy軸と呼び、これらが合わさってデカルト座標系（直交座標系）を形成します。座標軸の交点をOで表し、座標系の原点とします。図1参照。

図1

要するに、2本の実数直線を組み合わせたもので、1本は左右、もう1本は上下方向です。水平線をx軸、垂直線をy軸と呼びます。

原点

点(0,0)には特別な名前「原点」が付けられ、しばしば文字「O」で表されます。

実数直線

このシステムの基礎は、等間隔に目盛られた実数直線です。軸には(X, Y, Z)のラベルが付けられます。直線上の1点を原点として指定します。片側の数を正、もう片側を負とします。図2参照。

図2. X軸数直線

平面上のデカルト座標

直交座標系が導入された平面を座標平面またはx-y平面と呼びます。座標平面上の点と実数の組の1対1対応を確立する方法を示します。

点Aが座標平面上にあるとき、Aを通ってx軸に垂直な線とy軸に垂直な線を引きます。前者がx軸と座標xの点で交わり、後者がy軸と座標yの点で交わるとき、組(x, y)を点Aに対応させます（図2参照）。数xをAのx座標（横座標／アブシサ）、数yをy座標（縦座標／オーディネート）と呼び、Aを座標(x, y)を持つ点といい、A(x, y)で表します。点(0,0)を「原点」と呼び、文字「O」で表すこともあります。

アブシサ（横座標）とオーディネート（縦座標）

「アブシサ」と「オーディネート」……これらは単にxとyの値です：

• アブシサ：座標組の水平（x）値。点がどれだけ横にあるか。
• オーディネート：座標組の垂直（y）値。点がどれだけ上下にあるか。

図3

XとYの負の値

実数直線と同様、負の値を持てます。

負：ゼロから逆方向へ進む。図4参照。

図4

したがって負の数の場合：

• xは左へ
• yは下へ

例：(-3, 5) は、x軸で左へ3、y軸で上へ5（第II象限：x負、y正）
(-3, -5) は、x軸で左へ3、y軸で下へ5（第III象限：x負、y負）

デカルト座標を使って、グラフ上に「どれだけ横に、どれだけ上に」で点をプロットします。図5参照。点(12, 5)はx軸方向12単位、y軸方向5単位上。

図5

X軸とY軸

水平線をx軸、垂直線をy軸と呼び、両線は原点(0,0)を通る。

グラフ上に合わせると……図6参照

図6

要するに、2本の実数直線の組み合わせです。

軸：距離を測る基準線。

例：

点(6,4)は、x方向に6単位進み、y方向に4単位上へ進み、「点を打つ」。

どちらがどちらの軸か覚えるコツ：

座標は常に決まった順序で書きます：

• 水平距離（x）を先に、
• 垂直距離（y）を後ろに。

順序対：数値をカンマで区切り、全体を括弧で囲む。例：(7, 4)

例：(7, 4) は x軸方向7単位右、y軸方向4単位上を意味する。

三次元空間のデカルト座標

三次元空間（xyz空間）では、xy平面に直角に向き、xy平面の原点を通るz軸を加えます。座標は、原点から東西（x軸）、南北（y軸）、上下（z軸）の変位で決まります。デカルト座標系は、互いに直交する3つの座標軸（x軸、y軸、z軸）に基づきます（図6参照）。3軸の交点を原点と呼びます。部屋の隅で壁と床が交わる点を原点とイメージできます。左の壁と床の交線がx軸、右の壁と床の交線がy軸、2つの壁の交線がz軸です。部屋の中から見える部分が各軸の正の部分。部屋の外側に延びる部分が負の部分です。

図7. 3Dデカルト座標系

三次元デカルト座標軸。3軸の表現。正のx、y、z軸はx, y, zとラベルされた側。原点は全軸の交点。原点の反対側（ラベルなし側）が各軸の負の部分。

三次元運動を扱う際、適切な座標系を設定するのが第一歩。最も直截的なのはデカルト系です。デカルト座標系は、互いに直交する3軸（X, Y, Z軸）で構成されます。慣例により、右手の人差し指、中指、親指を互いに直交するように配置したとき、人差し指→X軸、中指→Y軸、親指→Z軸の方向に合わせられる向きを右手系と呼びます。図7参照。3座標軸の交点を座標系の原点と呼びます。

図8. 右手系デカルト座標系

三次元空間における点のデカルト座標は、3つの数の組(x, y, z)です。3つの数（座標）は、それぞれ原点からx、y、z軸方向への符号付き距離を指定します。原点と与えられた点を対向する角とし、座標軸に平行な辺を持つ箱を想像すると視覚化できます。

これで三次元空間内の点を定義できます。原点から三次元で点を定義できます。点のデカルト座標(x, y, z)は、それぞれ原点からx、y、z軸方向への符号付き距離を指定します。Z軸座標は座標位置定義時の第3要素になります。

上記の部屋の隅のアナロジーで、あなたの頭頂点の座標を求めてみます。あなたの身長がz軸方向5メートル、原点からx軸方向に2メートル歩き、左に向きを変えてy軸方向に平行に4メートル部屋に入ったとします。あなたの頭頂点のデカルト座標は(2, 4, 5)になります。

例えば、表記(2, 4, 5)はX2, Y4, Z5の値に対応します。図8参照。

3次元

デカルト座標は3次元での点の位置特定に使用できます。例：

図9. 点(2, 4, 5)の三次元デカルト座標表示

象限

座標軸は平面を4つの部分に分け、これらを象限と呼びます（図9参照）。象限は右上から反時計回りにI, II, III, IVと番号付けされ、軸の符号は図示の通りです。

図10

4つの象限

負の値を含めると、x軸とy軸で空間が4つに分かれます：

第I象限、第II象限、第III象限、第IV象限（反時計回りに番号付け）

• 第I象限：x正、y正
• 第II象限：x負、y正
• 第III象限：x負、y負
• 第IV象限：x正、y負

象限	X（水平）	Y（垂直）	例
I	正	正	(3, 2)
II	負	正	(-5, 2)
III	負	負	(-2, -1)
IV	正	負	(2, -5)

例：点A(3, 2)はx軸方向3単位、y軸方向2単位上。xもyも正なので第I象限。
例：点C(-2, -1)はx軸負方向2単位、y軸負方向1単位。xもyも負なので第III象限。

次元：1、2、3、そしてそれ以上……

1. 実数直線のみの場合：左右のみ → 位置特定に1つの数で十分
2. デカルト座標（2次元）の場合：左右、上下 → 位置特定に2つの数が必要
3. 3次元の場合：左右、上下、前後（奥行き）

単元テスト

1. CNCとは何か。
2. デカルト座標系を説明せよ。
3. 原点とは何か。
4. 水平線は何と呼ばれるか。
5. 垂直線は何と呼ばれるか。
6. 実数直線を説明せよ。
7. アブシサとオーディネートを説明せよ。
8. 三次元デカルト座標系の3軸の表現を説明せよ。
9. 座標軸が平面を4分割する部分を何と呼ぶか。
10. 第IV象限でのX軸とY軸の符号は何か。