MATLABで代数方程式をマスター：解く、簡略化、因数分解

これまで、すべての例がMATLABとそのGNU版であるOctaveの両方で動作することを見てきました。しかし、基本的な代数方程式を解く場合、MATLABとOctaveは少し異なるため、別々のセクションで説明します。

また、代数式の因数分解と簡略化についても説明します。

MATLABでの基本代数方程式の解法

solve関数は代数方程式の解法に使用します。最も簡単な形式では、solve関数は引用符で囲まれた方程式を引数として受け取ります。

例えば、x - 5 = 0の方程式でxを解いてみましょう。

 solve('x-5=0') 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = 5 

solve関数は以下のように呼び出すこともできます。

 y = solve('x-5 = 0') 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 y = 5 

方程式の右辺を含めなくても解けます。

 solve('x-5') 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = 5 

方程式に複数のシンボルが含まれる場合、MATLABはデフォルトでxについて解くと見なしますが、solve関数には別の形式があります。

 solve(equation, variable) 

ここで、変数を指定できます。

例えば、v – u – 3t² = 0の方程式をvについて解く場合、以下のように記述します。

 solve('v-u-3*t^2=0', 'v') 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = 3*t^2 + u 

Octaveでの基本代数方程式の解法

Octaveではroots関数を使用して代数方程式を解きます。上記の例は以下のように記述できます。

例えば、x - 5 = 0の方程式でxを解く場合：

ライブデモ

 roots([1, -5]) 

Octaveは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = 5 

以下のように呼び出すこともできます。

ライブデモ

 y = roots([1, -5]) 

Octaveは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 y = 5 

MATLABでの二次方程式の解法

solve関数は高次方程式も解けます。二次方程式の解法によく使用されます。関数は方程式の根を配列で返します。

以下の例では、二次方程式x² - 7x + 12 = 0を解きます。スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0'; s = solve(eq); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2)); 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 The first root is: 3 The second root is: 4 

Octaveでの二次方程式の解法

以下の例では、Octaveで二次方程式x² - 7x + 12 = 0を解きます。スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

ライブデモ

 s = roots([1, -7, 12]); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2)); 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 The first root is: 4 The second root is: 3 

MATLABでの高次方程式の解法

solve関数は高次方程式も解けます。例えば、3次方程式(x-3)²(x-7) = 0を解いてみましょう。

 solve('(x-3)^2*(x-7)=0') 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = 3 3 7 

高次方程式の場合、根は多くの項を含む長い式になります。このような根の数値を得るには、doubleに変換します。以下の例では、4次方程式x⁴ − 7x³ + 3x² − 5x + 9 = 0を解きます。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0'; s = solve(eq); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2)); disp('The third root is: '), disp(s(3)); disp('The fourth root is: '), disp(s(4)); % 根をdouble型に変換 disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1))); disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2))); disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3))); disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4))); 

ファイルを実行すると、以下の結果が返されます。

 The first root is: 6.630396332390718431485053218985 The second root is: 1.0597804633025896291682772499885 The third root is: - 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i The fourth root is: - 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root 1.0598 Numeric value of third root -0.3451 - 1.0778i Numeric value of fourth root -0.3451 + 1.0778i 

最後の2つの根は複素数であることに注意してください。

Octaveでの高次方程式の解法

以下の例では、4次方程式x⁴ − 7x³ + 3x² − 5x + 9 = 0を解きます。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

ライブデモ

 v = [1, -7, 3, -5, 9]; s = roots(v); % 根をdouble型に変換 disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1))); disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2))); disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3))); disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4))); 

ファイルを実行すると、以下の結果が返されます。

 Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root -0.34509 + 1.07784i Numeric value of third root -0.34509 - 1.07784i Numeric value of fourth root 1.0598 

MATLABでの連立方程式の解法

solve関数は、複数の変数を含む連立方程式の解を生成するためにも使用できます。簡単な例でこの用途を示します。

以下の方程式を解きます。

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4'); s.x s.y 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = 22/19 ans = -5/57 

同様に、より大きな線形システムも解けます。以下の方程式セットを考えてみましょう。

x + 3y - 2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

Octaveでの連立方程式の解法

'n'個の未知数を含む'n'個の線形方程式系を解くには、少し異なるアプローチを取ります。簡単な例で説明します。

以下の方程式を解きます。

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

このような線形方程式系は、単一の行列方程式Ax = bとして記述できます。ここでAは係数行列、bは線形方程式の右辺を含む列ベクトル、xは解を表す列ベクトルです。以下のプログラムで示します。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

ライブデモ

 A = [5, 9; 3, -6]; b = [5;4]; A \ b 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = 1.157895 -0.087719 

同様に、以下のようなより大きな線形システムも解けます。

x + 3y - 2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

MATLABでの方程式の展開と整理

expand関数とcollect関数は、それぞれ方程式を展開と整理します。以下の例で概念を説明します。

多くのシンボリック関数を扱う場合、変数がシンボリックであることを宣言する必要があります。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 syms x % シンボリック変数x syms y % シンボリック変数x % 方程式の展開 expand((x-5)*(x+9)) expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7)) expand(sin(2*x)) expand(cos(x+y)) % 方程式の整理 collect(x^3 *(x-7)) collect(x^4*(x-3)*(x-5)) 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = x^2 + 4*x - 45 ans = x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210 ans = 2*cos(x)*sin(x) ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) ans = x^4 - 7*x^3 ans = x^6 - 8*x^5 + 15*x^4 

Octaveでの方程式の展開と整理

symbolicパッケージが必要で、これによりexpandとcollect関数を使用して方程式を展開と整理できます。以下の例で概念を説明します。

多くのシンボリック関数を扱う場合、変数がシンボリックであることを宣言する必要がありますが、Octaveではシンボリック変数の定義方法が異なります。SinとCosの使用に注意してください。これらもsymbolicパッケージで定義されています。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 % まずパッケージを読み込み、インストール済みであることを確認 pkg load symbolic % symbolsモジュールを利用可能に symbols % シンボリック変数を定義 x = sym ('x'); y = sym ('y'); z = sym ('z'); % 方程式の展開 expand((x-5)*(x+9)) expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7)) expand(Sin(2*x)) expand(Cos(x+y)) % 方程式の整理 collect(x^3 *(x-7), z) collect(x^4*(x-3)*(x-5), z) 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = -45.0+x^2+(4.0)*x ans = 210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x ans = sin((2.0)*x) ans = cos(y+x) ans = x^(3.0)*(-7.0+x) ans = (-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x) 

代数式の因数分解と簡略化

factor関数は式を因数分解し、simplify関数は式を簡略化します。以下の例で概念を説明します。

例

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 syms x syms y factor(x^3 - y^3) factor([x^2-y^2,x^3+y^3]) simplify((x^4-16)/(x^2-4)) 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = (x - y)*(x^2 + x*y + y^2) ans = [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)] ans = x^2 + 4