MATLAB変換：ラプラス、フーリエ、FFTを解説

MATLABには、ラプラス変換やフーリエ変換などの変換を扱うコマンドが用意されています。変換は、科学と工学において、解析を簡略化し、データを別の角度から見るためのツールとして使用されます。

例えば、フーリエ変換を使用すると、時間関数として表現された信号を周波数関数に変換できます。ラプラス変換を使用すると、微分方程式を代数方程式に変換できます。

MATLABには、ラプラス、フーリエ、高速フーリエ変換を扱うlaplace、fourier、fftコマンドがあります。

ラプラス変換

時間関数f(t)のラプラス変換は、以下の積分で与えられます。

ラプラス変換は、f(t)からF(s)への変換としても表記されます。この変換または積分プロセスは、シンボリック変数tの関数f(t)を、別の変数sを持つ別の関数F(s)に変換することがわかります。

ラプラス変換は微分方程式を代数方程式に変換します。関数f(t)のラプラス変換を計算するには、以下のように記述します。

 laplace(f(t)) 

例

この例では、よく使用される関数のラプラス変換を計算します。

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 syms s t a b w laplace(a) laplace(t^2) laplace(t^9) laplace(exp(-b*t)) laplace(sin(w*t)) laplace(cos(w*t)) 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = 1/s^2 ans = 2/s^3 ans = 362880/s^10 ans = 1/(b + s) ans = w/(s^2 + w^2) ans = s/(s^2 + w^2) 

逆ラプラス変換

MATLABでは、ilaplaceコマンドを使用して逆ラプラス変換を計算できます。

例えば、

 ilaplace(1/s^3) 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を表示します。

 ans = t^2/2 

例

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 syms s t a b w ilaplace(1/s^7) ilaplace(2/(w+s)) ilaplace(s/(s^2+4)) ilaplace(exp(-b*t)) ilaplace(w/(s^2 + w^2)) ilaplace(s/(s^2 + w^2)) 

ファイルを実行すると、以下の結果が表示されます。

 ans = t^6/720 ans = 2*exp(-t*w) ans = cos(2*t) ans = ilaplace(exp(-b*t), t, x) ans = sin(t*w) ans = cos(t*w) 

フーリエ変換

フーリエ変換は、時間の数学的関数f(t)を、周波数を引数とする新しい関数（しばしばFで表される）に変換します。単位はサイクル/秒（ヘルツ）またはラジアン/秒です。新しい関数は、フーリエ変換および/または関数fの周波数スペクトルとして知られています。

例

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

 syms x f = exp(-2*x^2); % 関数 ezplot(f,[-2,2]) % 関数のプロット FT = fourier(f) % フーリエ変換 

ファイルを実行すると、MATLABは以下のグラフをプロットします。

以下の結果が表示されます。

 FT = (2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-w^2/8))/2 

フーリエ変換をプロットすると、

 ezplot(FT) 

以下のグラフが得られます。

逆フーリエ変換

MATLABには、関数の逆フーリエ変換を計算するifourierコマンドがあります。例えば、

 f = ifourier(-2*exp(-abs(w))) 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を表示します。

 f = -2/(pi*(x^2 + 1))