グラフェン-誘電体プラズモン導波路におけるモードと分散特性の二重非線形性制御

背景

グラフェンプラズモニクスは、金属と比較したグラフェンのユニークな電子的および光学的特徴により、広く注目されています[1,2,3,4]。 THzおよび遠赤外線周波数範囲では、電子のバンド内遷移が支配的であり、グラフェンは金属のように動作します。したがって、表面プラズモンポラリトン（SPP）はグラフェンによってサポートされる可能性があります。グラフェン-誘電体多層複合構造の場合、SPPの励起、結合、および伝播のモードが調査されています。準横電磁モードは、グラフェン平行平板導波路で発見されました[5]。 SPPの結合は、グラフェン-誘電体多層構造で研究されました[6、7]。単層グラフェンシートの周期的配列構造の場合、グラフェンシートが密に配置されていると、SPP間の強い結合が現れます。

グラフェン-誘電体非線形複合構造[8,9,10,11,12]の光学特性を調査するために、マイクロおよびナノスケールでの光伝搬を制御する大きな可能性についてかなりの努力が注がれています。単層グラフェンの場合、グラフェンとカー型非線形基板の界面の表面プラズモンが議論されました[8]。グラフェンプラズモンの波長は、基板の非線形誘電率を調整することによって調整できることが示されています。グラフェン-非線形誘電体多層構造については、グラフェンプラズモンの伝搬および局在特性が調査され、グラフェン平行平板導波路のTM表面プラズモンの正確な分散関係が得られました[11]。伝搬と局在化の長さは、非線形誘電率を調整することによって著しく影響を受けます。最近、対称および反対称プラズモンモードの分散関係が、グラフェンでコーティングされたカースラブ構造で導出されました[12]。典型的な前方伝搬モードを除いて、対称モードと反対称モードが見つかりました。

グラフェンの強い非線形性に基づいて、いくつかの非線形光学効果が予測されています[13、14、15、16、17]。 Nesterov etal。 [15]は、グラフェン単分子層における光の非線形伝搬を研究し、グラフェンの固有の非線形性により、グラフェン単分子層が光周波数でTEおよびTM空間光ソリトンをサポートできることを発見しました。最近では、単層グラフェンを多層グラフェンに置き換えている、Smirnova etal。 [16]は、グラフェンシートの多層スタックの非線形特性を調査し、非線形プラズモンの空間ダイナミクスを記述する非線形方程式を導き出しました。これまでの研究は、主にグラフェン誘電体構造の光特性の制御に対する単一の非線形性の影響に焦点を当てていました。二重非線形制御のアイデアは、グラフェンベースのフォトニック超格子[18、19]に導入され、深いサブ波長精度でフォトニックビームの電気的および全光学的制御が実現されました。ただし、グラフェン-誘電体プラズモン構造におけるモードと分散特性の二重非線形制御は、依然として多くの疑問を残しています。したがって、この論文では、グラフェン-誘電体-グラフェン導波路におけるグラフェンと誘電体の非線形性を同時に考慮し、モード結合と分散特性に対する二重非線形性の影響を研究します。

メソッド

グラフェン-非線形誘電体プラズモン導波路を図1に模式的に示します。これは、導電率がσのグラフェン平行板です。 _g x に配置されます =± d / 2、ここで誘電体は誘電率εのカータイプの媒体です =ε _L + α | E | ² 。私たちの分析では、グラフェンは1原子スケールの厚さのため、境界として扱われます。 z に沿って伝播する横磁気（TM）SPPを検討する 伝播定数βの方向 x に沿って指数関数的に減衰します それぞれ、空気と非線形媒体への方向。

非線形グラフェン-誘電体-グラフェンプラズモン導波路の概略図

TM分極の場合、3つのフィールド成分が存在することがわかっています E _x 、 E _z 、および H _y 。磁場 H = H _y y および電界 E = E _x x + E _z z 方程式を満たす

ここで、ε ₀ およびμ ₀ は真空の誘電率と透磁率です。式から（2）およびε =ε _L + α | E | ² 取得できます

式を代入します。 （5）式に（4）あります

三次方程式の場合[20、21]

式の判別式。 （7）は

\（b =-\ left（{\ varepsilon} _L + \ alpha {E} _z ^ 2 \ right）、\ kern0.5em c =0 \）、および\（d =-\ alpha {\ beta} ^ 2 {H} _y ^ 2 / \ left（{\ omega} ^ 2 {\ varepsilon} _0 ^ 2 \ right）\）、式の判別式が（6）会う

Δ <0は、式（6）実際の解決策は1つだけです。カルダノの方法[20]から、3次方程式の方程式は次のようになります。 （7）本当のルートは

ここで p = c − b ² / 3、 q = d − bc / 3 + 2 b ³ / 27。式を使用して。 （10）εを取得できます 。 εの交換 式で。 （2）と（3）は実数解により、常微分方程式は緩和法により数値的に解くことができます。

結果と考察

E の継続性要件から _z および H _y 、 x での境界条件 =± d / 2は E を満たす _{1 z} = E _{2 z} および H _{2 y} − H _{1 y} =σ _g E _z 。グラフェンの表面抵抗率σ _g バンド間およびバンド内遷移の寄与を含む久保公式[22]によって支配されます。 THzおよび遠赤外線周波数範囲では、帯域内遷移の寄与が支配的であり、表面伝導率は[23]

ここで e は電子の電荷、μ _c はグラフェンの化学ポテンシャル、ω は頻度であり、τ 運動量緩和時間です。このモデルは低温限界（ k ）に適用できます _B T <<μ _c ）低周波数（ℏω ≤μ _c ）。強電界条件の場合、導電率の非線形部分を考慮する必要があり、グラフェンの総導電率は[16]

ここで E _τ は電界の接線成分であり、σ ^NL 非線形導電率を示します[16]

ここでν _F =0.95×10 ⁸ cm / sはフェルミ速度です。

グラフェンの場合、THzおよび遠赤外線周波数範囲でのみ、その表面伝導率を単純なDrudeタイプに簡略化できます。したがって、入射波長をλとして選択します。 =10 μm 。その他のパラメータは値εに固定されています ₁ =1、ε _L =2.25、α =5×10 ^{− 16} （m / v） ² [24] E _F =0.27 ev、τ =1.5ps。グラフェン-誘電体-グラフェン線形構造には、それぞれ対称モードと反対称モードの2つのモードがあることはよく知られています。以下では、グラフェン-誘電体複合構造のモード分布に対する非線形性の影響について説明します。

H の設定 ₀ 入射界面での初期磁場成分として、式（1、2、3）を数値的に解くことにより、初期磁場強度の依存性 H ₀ 伝播定数βについて 正規化された伝播定数\（{k} _F =\ sqrt {\ uppi n} \）は、フェルミ運動量[25]の単位です。ここで n =6×10 ¹² cm ^{− 2} はキャリア密度です。実線の曲線は誘電体の非線形性のみを考慮した場合を表し、破線の曲線は誘電体とグラフェンの非線形性を同時に考慮した場合を示しています。図2から、両方の場合のモードプロパティが同じであることがわかります。非線形プラズモン導波路が3つのモードをサポートできることを意味する3つのブランチがあります。ただし、単一の非線形性の場合と比較して、初期の電界強度は、二重の非線形性の場合に明らかに減少しました。グラフェン非線形プラズモン導波路は3つのモードをサポートできますが、どの分岐が対称、反対称、または非対称モードを示しているかを区別することはできません。各分岐のモード特性を決定するために、A、B、C、およびDに関連する電界と磁界の分布をそれぞれ図3にプロットします。

初期磁気強度対伝搬定数。 実線の場合 ：α =5×10 ^{− 16} （ m / v ） ² 、σ ^NL =0; 破線の曲線の場合 ：α =5×10 ^{− 16} （ m / v ） ² 、σ ^NL =2.19×10 ^{− 20} i、水平の黒い実線 補助線です

磁性部品 H の誘電率とモード分布 _y および電気部品 E _z 。 a および b 点Aに対応します（ H ₀ =300、β =6.94×10 ^{− 2} k _F ）対称モードについては図2でマークされています、 c および d 点Bに対応します（ H ₀ =300、β =7.81×10 ^{− 2} k _F ）反対称モードについては図2でマークされています、 e および f 点Cに対応します（ H ₀ =300、β =8.36×10 ^{− 2} k _F ）非対称モードについては図2でマークされており、 g および h 点Dに対応します（ H ₀ =700、β =8.07×10 ^{− 2} k _F ）

黒の破線の曲線の分岐について、対応する誘電率とAに関連する電界が図3a、bにプロットされています。ここで、誘電率と電界の分布 E _z 対称です。したがって、このブランチは対称モードを表します。赤い破線の曲線の分岐について、Bに関連する誘電率と電界を図3c、dに示します。誘電率の分布は依然として対称的です。ただし、電界の分布 E _z は反対称です。これは、このブランチが反対称モードであることを意味します。 CとDに関連する誘電率と電界の分布を図3e–hにプロットします。 ＣおよびＤに関連する対応する磁場および電場の分布は非対称であることに留意されたい。したがって、青い破線の曲線の分岐は非対称モードを表しています。一方、電界の非対称分布は誘電率の非対称分布につながります。

次に、分散関係に対する誘電体とグラフェンの非線形性の影響について説明します。図4は、固定された初期磁場（ H ）の分散関係を示しています。 ₀ =300 A / m）および誘電体のさまざまな化学ポテンシャルと非線形係数。図4a–cには、分散関係に対する誘電体の非線形係数の影響が示されています。ここでは、誘電体の非線形性のみが考慮されています。非線形係数と非線形導電率の両方がゼロに等しい場合（α =0、σ ^NL =0）、非線形構造は線形構造に縮退します。図4aでは、線形の場合、対称モードと反対称モードのみが存在します。黒の実線の曲線と赤の実線の曲線は、それぞれ対称モードと反対称モードを表しています。非線形係数がゼロ以外の場合、図4b、cに示す分岐IIIのような非対称モードが構造に現れます。非線形係数がさらに大きくなると、分散特性に対する係数の影響は弱くなります。

固定された初期磁気強度（ H ）の分散関係 ₀ =300 A / m）およびさまざまな非線形係数（ a – c ）およびさまざまな化学ポテンシャル（ d – f ）。 a α =0、μ _c =0.27eV、σ _NL =0、 b α =5×10 ^{− 17} （m / V） ² 、μ _c =0.27eV、σ _NL =0、 c α =5×10 ^{− 16} （m / V） ² 、μ _c =0.27eV、σ _NL =0、 d μ _c =0.27eV、α =5×10 ^{− 16} （m / V） ² 、（ e ）μ _c =0.16eV、α =5×10 ^{− 16} （m / V） ² 、および f μ _c =0.10eV、α =5×10 ^{− 16} （m / V） ²

以下では、誘電体とグラフェンの非線形性を同時に紹介し、誘電体の非線形係数が固定された分散関係に対するグラフェンの非線形性の影響について説明しますα =5×10 ^{− 16} （m / V） ² 。結果を図4d-fに示します。図4dと図4cを比較すると、分散関係のフォールドバック現象が3つのブランチすべてに現れていることがわかります。式から（13）、化学ポテンシャルを調整することでグラフェンの非線形性を制御できることがわかっています。グラフェンの非線形性がμからさらに増加するにつれて _c =0.27eVからμ _c =0.16 eV、図4eに示すように、分散関係のフォールドバックポイントが上に移動します。グラフェンの非線形性を大きくする場合（化学ポテンシャルμが小さい場合 _c =0.10eV）、図4fに示すように、対称モードのみが表示され、閉ループを形成します。図4から、誘電体の非線形性のみを考慮すると、分散関係は、誘電体の非線形係数が増加してもほとんど変化しない3つの分岐を示していることがわかります。しかし、グラフェンの非線形性をさらに紹介すると、分散関係のフォールドバック現象が現れます。指定された初期磁場 H ₀ 化学ポテンシャル分散関係は、閉ループの対称モードのみを示します。

結論

要約すると、グラフェン誘電体非線形プラズモン導波路のモードと分散特性を調査しました。モード分布、誘電率、および分散関係は、TM偏光のマクスウェル方程式を数値的に解くことによって得られました。誘電体の非線形性のみを考慮した場合と比較して、誘電体とグラフェンの非線形性を同時に考慮した場合、初期電界強度は明らかに減少しました。さらに、二重非線形性は導波路の分散特性に大きく影響します。特に、グラフェンの非線形性が増すにつれて、反対称モードと非対称モードが1つに統合され、徐々に消えていきます。したがって、強い非線形性の場合は対称モードしか見つかりません。