高NA対物レンズで集光した円偏光異常渦ビームの光学力とナノ粒子トラッピング解析

要旨

高数値開口数（NA）対物レンズで集光した円偏光異常渦ビーム（CPAVB）の特性を解析的・理論的に検討しました。位相電荷がビームプロファイルに大きく影響し、NAと位相電荷を調整することでフラットトップ（FT）ビームが得られることを見出しました。また、タイトフォーカシング後、縦成分においてスピン角運動量から軌道角運動量への変換が生じることが判明しました。さらに、タイトフォーカシングされたCPAVBがナノ粒子に及ぼす光学力を詳細に解析し、焦点近傍で屈折率の異なる2種類のナノ粒子をトラッピング可能であることを示しました。

はじめに

らせん位相因子exp(imθ)を持つ渦ビームは過去20年間で広く研究されてきました。ここでmは任意の整数値を取る位相電荷、θは光軸に垂直な平面上の方位角です[1,2]。渦ビームは「ドーナツ」強度プロファイルと軌道角運動量（OAM）を持つため、光学ツイーザー[3-7]、自由空間光通信[8]、量子情報[9]など多くの応用があります。最近では、スピン角運動量（SAM）とOAMを同時に持つ円偏光渦ビームのユニークな特性に注目が集まっています[10-15]。これらの特性は渦ビームの応用を大きく拡張・強化します。

高NAレンズ系での各種ビームのタイトフォーカシング特性も、粒子トラッピング[21]、顕微鏡[22]、光データストレージ[23]などの重要応用のためホットトピックです[16-20]。これまでスカラー渦ビームからベクトル渦ビームまで多様なビームが研究されてきました[10,24-31]。例えば、Haoら[26]とPuら[27]は高NAレンズ下でのらせん偏光渦ビームの特性を研究し、焦点面で適切な偏光状態選択によりフラットトッププロファイル実現とOAM調整可能性を示しました。Zhanらは円偏光渦ビームのタイトフォーカシング特性を研究し、強い縦成分生成を示しました[10]。

異常渦ビーム（AVB）は、遠方場で優雅なラゲール・ガウシアンビームへ発展する新規ビームとして最近提案されました[32]。その特異な伝播特性により多くの注目を集め、幅広く研究されています[33-38]。筆者らの知る限り、高NAレンズで集光したCPAVBに関する報告はありません。本稿では、タイトフォーカシング後のCPAVBの数学的表現を導出し、ビーム次数、位相電荷、NA値がビームプロファイルと位相分布に与える影響を解析します。最後に、タイトフォーカシングCPAVBのナノ粒子への光学力を検討します。

実験方法

円偏光ビームは、放射偏光と方位偏光の線形重ね合わせとして以下のように記述できます[10]：

$$ {\mathrm{E}}_{LHC(RHC)}=P(r){e}^{\pm i\varphi}\left({\mathrm{e}}_{\rho}\pm j{\mathrm{e}}_{\varphi}\right)/\sqrt{2} $$ (1)

ここでP(r)は振幅分布、「+」と「-」は左回りと右回り円偏光を表し、e_ρとe_φは円筒座標での放射および方位単位ベクトルです。放射偏光と方位偏光ビームの式は文献[39-41]で得られます。

集光系のスキームは文献[42]と同様です。サイン条件（r=fsinθ）下でのAVBの瞳開口関数は[32,38]：

$$ {\mathrm{E}}_{\mathrm{n},\mathrm{m}}\left(\theta, \varphi \right)={E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{{w_0}^2}\right)\exp \left(- im\varphi \right) $$ (2)

ここでfは焦点距離、θは0からαまで変化、αはNAの最大角、E₀とw₀は定数とビームウェスト半径。n、φ、mはそれぞれビーム次数、方位座標、位相電荷です。

ベクトルデバイ理論により、円筒座標でのタイトフォーカシングCPAVBの電場表現を式(3)として導出：

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, \rho}\left(\rho, \varphi, z\right)=-\frac{ikf}{2}{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^m\\ {}\kern6.399996em \times \sin \theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times \left[\left(\cos \theta +1\right){J}_m\left( k\rho \sin \theta \right)-\left(\cos \theta -1\right){J}_{m\pm 2}\left( k\rho \sin \theta \right)\right] d\theta \end{array}} $$ (3a) $$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, \varphi}\left(\rho, \varphi, z\right)=-\frac{ikf}{2}{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^{m\pm 1}\\ {}\kern6.399996em \times \sin \theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times \left[\left(\cos \theta +1\right){J}_m\left( k\rho \sin \theta \right)-\left(\cos \theta -1\right){J}_{m\pm 2}\left( k\rho \sin \theta \right)\right] d\theta \end{array}} $$ (3b) $$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, z}\left(\rho, \varphi, z\right)=- ikf{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^{m\pm 1}\\ {}\kern6.399996em \times {\sin}^2\theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times {J}_{m\pm 1}\left( k\rho \sin \theta \right) d\theta \end{array}} $$ (3c)

ここでJ_n(α)は第1種n次ベッセル関数、k=2π/λ。E₊とE₋をそれぞれ右回り・左回りCPAVBの電場式と定義します。

上式で以下の公式を使用[43]：

$$ \left\{\begin{array}{l}{\int}_0^{2\pi}\cos \left( n\varphi \right)\exp \left[ ia\cos \left(\varphi -\phi \right)\right] d\varphi =2\pi {i}^n{J}_n(a)\cos \left( n\phi \right)\\ {}{\int}_0^{2\pi}\sin \left( n\varphi \right)\exp \left[ ia\cos \left(\varphi -\phi \right)\right] d\varphi =2\pi {i}^n{J}_n(a)\sin \left( n\phi \right)\end{array}\right. $$ (4)

タイトフォーカシングCPAVBの全強度は：

$$ I={\left|{E}_{\rho}\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2+{\left|{E}_{\varphi}\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2+{\left|{E}_z\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2 $$ (5)

ここでE_ρ、E_φ、E_zは各成分の振幅です。

結果と考察

CPAVBのタイトフォーカシング特性

上記式を用いてタイトフォーカシングCPAVBの特性を検討します。シミュレーションではNA=0.85、λ=632.8 nm、w₀=2 mm、f=2 mmとしました。図1に、焦点面での左回りCPAVB（n=1）の位相電荷違いによる全強度プロファイルと縦・放射成分を示します。位相電荷m≤2では中心強度が非ゼロ、m>2では中心に暗点が存在します。また、m=0,2で放射成分が軸上非ゼロ、m=1で縦成分と同一になります。これは式(3)と(5)から説明可能で、第1種ベッセル関数J_mはm=0以外で原点ゼロとなるためです。m>2では全3成分のベッセル関数が中心でゼロとなり全強度ゼロ、それ以外では少なくとも1成分にJ₀を含むため中心強度が非ゼロかつ最大となります。さらに全強度と放射成分では、位相電荷増大に伴い焦点スポットサイズが増大します。したがって、焦点面での全強度と焦点スポットサイズは位相電荷の影響を受けます。

図2に、m=1でビーム次数nを変えた左回りCPAVBの焦点面プロファイルを示します。n増大に伴い各成分と全強度の外側リングが徐々に明るくなりますが、強度パターンの形状自体は変わりません。したがってビーム次数nは強度パターン形状に大きな影響を与えません。

次に、n=2でm=1とm=4のCPAVBについてNA値の影響を検討しました。図3に示す通り、m=1では中心強度が非ゼロのまま、m=4では焦点面で中心暗となります。図3 d-1とd-2を比較すると、NA増大に伴い強度が増大し中心に集中することがわかります。特にm=1ではNA=0.8でフラットトップビームが得られます。

式(3c)に基づき、焦点近傍でのCPAVB縦成分の位相分布を計算しました（図4）。図4の上段と下段はそれぞれ左回り・右回りCPAVB。図4 a-cの位置はz=-0.005z_r、0、0.005z_r、ここでz_r=kw₀²/2はレイリー距離。他パラメータはn=1、NA=0.85。図4より、焦点面通過後に位相パターン輪郭が時計回りから反時計回りへ変化します。図4 a-1〜c-1とa-2〜c-2を比較すると、左回りCPAVB（m=4）では焦点近傍で位相電荷が3に減少、右回りでは5に増加することがわかります。これは左回りCPAVBがSAM l_s=-ħとOAM m=4ħを持ち、SAMから変換された逆符号OAMの補償により位相電荷が3に減少するためと説明できます。同様に右回りではSAM l_s=ħ、OAM m=4ħで、SAMからのOAM変換により5に増加します。したがって、タイトフォーカシング後に縦成分でSAMからOAMへの変換が生じることが結論付けられます。

タイトフォーカシングCPAVBによるナノ粒子トラッピング

レイリー散乱理論[44]に基づき、光学トラッピング議論には散乱力と勾配力を考慮します。散乱力はF_scat=e_zn_mαI_out/cで表され、光学トラップを不安定化する方向に働きます。ここでcは光速、e_zはz方向単位ベクトル、I_outは集光ビーム強度、α=(8/3)π(ka)⁴a²[(η²-1)²/(η²+2)²]、aはナノ粒子半径、η=n_p/n_m、n_mとn_pは周囲媒質とナノ粒子の屈折率。勾配力（F_grad）はナノ粒子を焦点へ引き戻す方向に働き、F_grad=2πn_mβ∇I_out/cで表され、β=a³(η²-1)/(η²+2)。

シミュレーションではn_p=1.59（ガラス）とn_p=1（気泡）、n_m=1.332、NA=0.85、a=50 nmとしました。図5は左回りCPAVBが低屈折率粒子（n_p=1）に及ぼす放射・縦勾配力と散乱力を、異なるmとnで示します。先行研究でm≥3では中心強度が暗となることが示されています。したがって予想通り、低屈折率粒子では放射・縦勾配力が常に粒子を焦点へ引き戻します（図5a-d）。散乱力は勾配力に比べ非常に小さいため、低屈折率粒子は安定してトラッピング可能です。

図6は高屈折率粒子（n_p=1.59）に対する同力の様子を示します。焦点近傍に複数の平衡点が存在し、散乱力は勾配力に比べ無視できるため、高屈折率ナノ粒子も焦点近傍で捕捉可能です。

結論

タイトフォーカシングCPAVBの特性とナノ粒子への光学力を議論しました。CPAVBのSAMがタイトフォーカシング時にOAMへ変換されることを見出しました。さらに、タイトフォーカシングCPAVBは焦点面近傍で低屈折率と高屈折率の2種類のナノ粒子をトラッピング可能です。本研究はCPAVBの潜在的応用探索に資するものです。