共振回路のQ因子と帯域幅：理論、計算、実践設計

共振回路のQ（品質）因子は、その選択性とエネルギー効率を定量化します。Qが高いほど帯域幅が狭くなり、フィルタリング、チューニング、RF設計において重要です。

数学的に、Qはリアクティブ素子に蓄えられる電力と抵抗成分で消費される電力の比です：

 Q = Pstored/Pdissipated = I²X/I²R = X/R ただし： X = 共振時の容量性または誘導性リアクタンス R = 直列抵抗 

この式は直列共振器と、インダクタの直列抵抗が支配的な並列共振器で成り立ちます。実用上、インダクタの直流抵抗が達成可能なQを制限します。

注： 一部の文献では、大きな並列抵抗を持つ並列共振器についてXとRを入れ替えた式を示します。ここでは、インダクタの小さな直列抵抗という一般的なケースに正しい式を採用しています。

直列共振器では、インダクタまたはコンデンサの電圧が全印加電圧のQ倍に達することがあります。並列共振器では、リアクティブ素子を流れる電流が全印加電流のQ倍に達します。

直列共振回路

共振時、直列共振器は純粋な抵抗のように振る舞います：誘導性と容量性リアクタンスが相殺され、直列抵抗のみがインピーダンスを決定します。これにより最小インピーダンスと最大電流が得られます。

共振より下では、コンデンサのリアクタンスが支配的で容量性に見えます。共振より上では、インダクタのリアクタンスが増大し誘導性に見えます。

共振時、直列共振回路は純抵抗的に見える。共振より下では容量性、上では誘導性。

直列共振回路ではインピーダンスが共振で最小になる。

直列抵抗を調整することでピーク電流をチューニングでき、それによりQと共振曲線の幅が変わります。低抵抗・高Q回路は鋭く狭いピークを、高抵抗・低Q回路は広く緩やかな応答を生みます。

帯域幅はQと共振周波数に直接関係します：

 BW = fc / Q 

高Q共振回路は低Q回路に比べて狭い帯域幅を持つ。

帯域幅は、0.707（≒70.7%）電流振幅点の間の周波数範囲として定義され、P = I²Rであるため半電力点に対応します。

帯域幅Δfは、直列共振回路の70.7%振幅点間で測定される。

 BW = Δf = fh - fl = fc / Q ただし： fh = 高域側エッジ fl = 低域側エッジ fc = 中心（共振）周波数 

上記例では、100%電流点が50 mA。70.7%レベルは35.4 mA。バンドエッジは291 Hz（f_l）と355 Hz（f_h）。帯域幅は64 Hz、半電力点は中心周波数±32 Hz：

 BW = Δf = 355 Hz - 291 Hz = 64 Hz fl = fc - Δf/2 = 323 Hz - 32 Hz = 291 Hz fh = fc + Δf/2 = 323 Hz + 32 Hz = 355 Hz Q = fc / BW = 323 Hz / 64 Hz ≈ 5 

並列共振回路

並列共振器は共振時に最大インピーダンスに達します。共振より下では、インダクタの低いインピーダンスがより多くの電流を引くため誘導的に振る舞います。共振より上では、コンデンサの低いインピーダンスが支配的で容量的に振る舞います。

並列共振回路は共振で抵抗的、共振より下で誘導的、上で容量的。

電圧はインピーダンス×電流（V = I·Z）なので、インピーダンスが最高となる共振で電圧がピークになります。

並列共振回路：インピーダンスが共振でピーク。

実用上、インダクタの大きな直列抵抗による低Qは控えめで広いピークを生みます。高Q（低抵抗、大径線材）は顕著で狭いピークを生みます。インダクタの巻線ゲージと線材を調整するとQに直接影響します。

並列共振応答はQによって変化する。

並列共振器の帯域幅は、半電力電圧点（70.7%インピーダンス点）間で測定されます。電力∝V²なので、これらは50%電力レベルを表します。

帯域幅Δfは、並列共振回路の70.7%インピーダンス点間で測定される。

例では、100%インピーダンス点が500 Ω。70.7%レベルは354 Ω。バンドエッジは281 Hz（f_l）と343 Hz（f_h）。帯域幅は62 Hz、半電力点は中心周波数±31 Hz：

 BW = Δf = 343 Hz - 281 Hz = 62 Hz fl = fc - Δf/2 = 312 Hz - 31 Hz = 281 Hz fh = fc + Δf/2 = 312 Hz + 31 Hz = 343 Hz Q = fc / BW = 312 Hz / 62 Hz ≈ 5 

関連ワークシート：

• 共振ワークシート
• 電気回路の代数的置換ワークシート