連立方程式マスター：代入法と加減法のステップバイステップガイド

連立方程式と方程式系とは

連立方程式 と 方程式系 は、2つ以上の未知変数が、同じ数の方程式を通じて互いに関連付けられている状況を指します。

例：

この方程式組において、x と y の両方を満たす値の組み合わせはただ一つしかありません。

それぞれの方程式を単独で見れば、有効な (x,y) 解は無限に存在しますが、同時に 考えると解は一つだけです。グラフにプロットするとこのことが明確になります：

各直線は、各方程式の可能な x と y の解の組み合わせを表す点の連続体です。2つの一次関数 x + y = 24 と 2x - y = -6 が交わる点はただ一つで、そこでは x = 6, y = 18 となります。

ただし、グラフで解を求めるのは通常効率的ではなく、3変数以上のシステムでは特に非現実的です。3変数系では、3次元座標空間内の3つの平面の交点を求めることになり、視覚化は容易ではありません。

代入法による連立方程式の解法

連立方程式を解く代数的手法はいくつかありますが、概念的に最も理解しやすいのは 代入法 です。

先ほどの2変数の例題を使って説明します：

代入法では、一方の方程式を操作して、ある変数をもう一方の変数で表します：

この新しい 定義 を、もう一方の方程式の同じ変数に 代入 します。ここでは y = 24 - x をもう一方の方程式の y に代入します：

これで x だけの方程式になり、通常の代数操作で解けます：

x が分かれば、元の方程式のいずれかに代入して y を求められます。あるいは、先ほど導出した y の式に x = 6 を代入するのが手っ取り早いです：

3変数以上のシステムに代入法を適用する場合もパターンは似ていますが、手順が増えます。一般的に、変数が増えるごとに解法のステップは急激に増加します。

3変数の例

3つの未知数を解くには少なくとも3つの方程式が必要です。次の例を考えます：

第1式が最も係数がシンプル（x, y, z の係数が 1, -1, 1）なので、これを使って1変数を他の2変数で表します。x について解くと：

この x の定義を他の2式に代入します：

これらを簡略化すると：

これで3変数3式から2変数2式に帰着しました。再び代入法を適用して 4y - z = 4 と -3y + 4z = 36 から y または z を求めます。まず第1式から z を y で表します：

これをもう一方の式に代入します：

y が分かれば、z の式に代入して z を求めます：

最後に y と z を x の式に代入して x を求めます：

結果として、x = 2, y = 4, z = 12 という値が全3式を満たすことが分かりました。

加減法による連立方程式の解法

代入法が概念的に最も理解しやすい一方、他の解法もあります。その一つが 加減法 で、方程式同士を足し合わせて変数項を消去する方法です。

代入法で使った2変数系を例に取ります：

代数の基本ルールとして、方程式の両辺に同じ演算を施しても等式は成り立ちます。加法について言えば、両辺に同じ量を加えても真偽は変わりません。したがって、2つの方程式の左辺同士、右辺同士をそれぞれ足し合わせて新しい方程式を作れます。

例では、x + y と 2x - y を足し、24 と -6 を足して新しい方程式を得ます：

上式に +y、下式に -y があったため、これらが打ち消され y 項が消え、x だけの方程式になりました。これで x を容易に解けます：

x = 6 が分かれば、元の式のどちらかに代入して y を求めるのは簡単です。

うまくいかない場合の対処

次の方程式組を考えます：

そのまま足しても 3x + 3y = 18 となり、まだ2変数残ってしまいます：

しかし、一方の式を操作して、足し合わせたときに項が打ち消せるようにできれば、1変数の方程式に帰着できます。下式の y 項を -2y に変えれば、y 項が消えます。下式の全項を -2 倍すればよいのです：

これを元の上式に加えます：

x = 3 が得られ、元の式に代入して y を求めます：

3変数系への加減法適用

3変数系でも、代入法と同様に、まず3式3変数を2式2変数に減らし、さらに1式1変数にまで簡略化します。代入法の節で使った3変数系で実演します：

第1式の各変数の係数が1なので、操作しやすく消去ツールとして使えます。例えば、第2式の 3x を消したいなら、第1式の全項に -3 を掛けて第2式に加えます：

同様に、第3式の -5x を消すには、第1式に 5 を掛けて第3式に加えます：

これで y と z の2変数2式になりました：

上式の -z を使って下式の 4z を消せます。上式に 4 を掛けて加えます：

13y = 52 より y = 4。これを2変数式のどちらかに代入して z を求め、さらに元の3変数式のいずれかに y と z を代入して x を求めます。最終結果は x = 2, y = 4, z = 12 となります（代入法と同じ結果）。

関連ワークシート：

• 回路解析のための連立方程式ワークシート