キルヒホッフの法則：電流則・電圧則（KCL・KVL）ステップバイステップ解説

KCLとKVL - キルヒホッフの第1・第2法則と解答例

ドイツの物理学者「ロベルト・キルヒホッフ」が1847年に発表した2つの重要な電気法則により、複雑なネットワークの合成抵抗や各導体に流れる電流を容易に求められるようになりました。交流・直流両回路に適用可能なこれらの法則は、キルヒホッフの電流則（KCL）とキルヒホッフの電圧則（KVL）として知られています。

なお、KCLは電磁気学の電荷連続式から、KVLは静磁場におけるマクスウェル・ファラデーの方程式（磁束密度Bの時間微分が0）から導かれます。

キルヒホッフの電流則（KCL）

KCLによれば：

任意の電気ネットワークにおいて、ある点へ流入する電流の代数和と、その点から流出する電流の代数和はゼロになります。つまり、ある点へ流入する電流の総和は、その点から流出する電流の総和と等しくなります。

別の表現では、ある点に向かって流れる電流の和は、その点から離れて流れる電流の和に等しい。または、ノードに流入する電流の代数和は、そのノードから流出する電流の代数和に等しい。

KCLの説明

図1.aのように、複数の導体が点「A」で接続されているとします。一部の導体では電流が点Aへ流入し、他の導体では点Aから流出しています。

流入電流を「正（+）」（点Aに向かう方向）、流出電流を「負（-）」（点Aから離れる方向）とすると：

I₁ + (–I₂) + (–I₃) + (–I₄) + I₅ = 0

つまり：

I₁ + I₅ – I₂ – I₃ – I₄ = 0

したがって：

I₁ + I₅ = I₂ + I₃ + I₄

すなわち、

流入電流 = 流出電流

または

ΣI 流入 = ΣI 流出

例えば、図1.bのように8Aが点に向かい、5Aと3Aがその点から離れている場合：

8A = 5A + 3A = 8A となります。

キルヒホッフの電圧則（KVL）

キルヒホッフの第2法則であるKVLは、次のように述べられます：

任意の閉ループ（メッシュとも呼ばれる）において、印加起電力の代数和は、各素子の電圧降下の代数和に等しい。キルヒホッフの第2法則は電圧則またはメッシュ則とも呼ばれます。

ΣIR = ΣE

KVLの説明

2つの電池E₁とE₂を含む閉回路を示します。電池の起電力の総和はE₁ - E₂で表されます。想定電流方向も図示されています。

E₁は想定方向（正）に電流を駆動し、E₂は想定方向と逆向き（負）に干渉します。この閉回路での電圧降下は、電流と抵抗の積に依存します。

想定電流方向での電圧降下を正、逆方向を負とします。

上図では、I₁R₁とI₂R₂が正の電圧降下、I₃R₃とI₄R₄が負の電圧降下です。

閉回路（または各メッシュ）を一周し、各導体の抵抗と流れる電流の積（IR）の和を取ると、回路に接続された起電力源の和に等しくなります。

上記回路の総合方程式は：

E₁ – E₂ = i₁R₁ + i₂R₂ – i₃R₃ – i₄R₄

図示の想定電流方向に沿って進む場合、IR積は正、逆方向なら負とします。

知っておくと便利：

電流の方向：

キルヒホッフの法則で回路を解く際、電流方向の決定は極めて重要です。電子電流と慣習電流の関係と同様です。

電流方向は時計回り・反時計回りのいずれかで仮定できます。一度方向を決めたら、最終解答まで全回路でその方向を維持しなければなりません。

最終的な値が正なら、仮定した電流方向が正解です。負の値なら、実際の電流方向は仮定とは逆になります。

キルヒホッフの法則による回路解析

KCLとKVLの解答例（キルヒホッフの法則）

例題：

抵抗R₁= 10Ω、R₂ = 4Ω、R₃ = 8Ωが、2つの電池（内部抵抗は無視）と図のように接続されています。各抵抗を流れる電流を求めよ。

解答：

矢印で示した方向に電流が流れると仮定します。

接点CとAにKCLを適用：

メッシュABCの電流 = i₁

メッシュCAの電流 = i₂

したがって、メッシュCDAの電流 = i₁ – i₂

メッシュABCにKVLを適用（20Vが時計回りに作用）：

10i₁ + 4i₂ = 20 … (1)

メッシュACDでは12Vが時計回りに作用：

8(i₁ – i₂) – 4i₂ = 12

8i₁ – 8i₂ – 4i₂ = 12

8i₁ – 12i₂ = 12 … (2)

式(1)に3を乗じる：

30i₁ + 12i₂ = 60

i₁について解く：

30i₁ + 12i₂ = 60

8i₁ – 12i₂ = 12

___________
38i₁ = 72

上記は消去法やクラメールの公式でも解けます。

i₁ = 72 ÷ 38 = 1.895 A = 10Ω抵抗の電流

この値を(1)に代入：

10(1.895) + 4i₂ = 20

4i₂ = 20 – 18.95

i₂ = 0.263 A = 4Ω抵抗の電流

したがって、

i₁ – i₂ = 1.895 – 0.263 = 1.632 A

キルヒホッフの法則の応用

• 未知の電流・電圧値およびその方向の決定に使用可能
• あらゆる回路に適用可能（後述の限界を参照）だが、複雑な回路・ネットワークでの未知値算出に特に有用
• ノード解析とメッシュ解析で電流・電圧値を求める際に使用
• 各独立ループの電流はKVL（各ループ）で、任意素子の電流は全電流をカウントして求める（ループ電流法）
• 各分枝の電流はKCL（各接点）とKVL（各ループ）で求める（分枝電流法）
• 電気回路を通じたエネルギー移動の理解に役立つ

知っておくと便利なルール：

キルヒホッフの法則で電気回路を簡略化・解析する際は、以下の経験則を考慮してください：

• 時計回り電流によるループ内電圧降下は正（+）
• 反時計回り電流によるループ内電圧降下は負（-）
• 電池が時計回りに駆動する電流は正（+）
• 電池が反時計回りに駆動する電流は負（-）

キルヒホッフの法則の限界

• KCLは電流が導体・電線のみを流れることを前提としています。しかし高周波回路では寄生容量が無視できず、導体が伝送路として振る舞うため、開放回路でも電流が流れる可能性があります。
• KVLは閉ループに連鎖する変動磁場がないことを前提とします。しかし高周波・短波長の交流回路で変動磁場が存在する場合、電場は保存場ではなく、ポテンシャルの勾配として表せません。閉ループ周りの電場線積分がゼロでなくなり、KVLと矛盾します。そのため、この条件下ではKVLは適用できません。
• 磁場から電場へのエネルギー移動時、KVLに修正を加えて回路周りの電位差をゼロにする必要があります。

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