重ね合わせの定理をマスター: 実例付きステップバイステップ回路解析

重ね合わせの定理 - ステップバイステップガイドと解決例

重ね合わせの定理とは

重ね合わせの定理は、複数のエネルギー源を持つ複雑なネットワークを解くために使用されます。各電源の効果を個別に計算し、すべての電源の効果を組み合わせて、回路素子の実際の電圧と電流を決定する重要な概念です。

重ね合わせの定理は次のように述べています：

つまり、一度に1つの独立電源のみを考慮します。そのため、他の電源を除去する必要があります。電圧源は短絡し、電流源は開放します（理想電源の場合）。電源の内部抵抗が与えられている場合、回路を考慮する必要があります。

重ね合わせの定理は、オームの法則に従う回路にのみ適用されます。

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重ね合わせの定理を使用するタイミング

ネットワークは、重ね合わせの定理を適用するために以下の要件を満たす必要があります。

• 回路で使用されるコンポーネントは線形でなければなりません。つまり、抵抗器では電流の流れが電圧に比例し、インダクターでは磁束連鎖が電流に比例します。したがって、抵抗器、インダクター、コンデンサは線形要素です。しかし、ダイオード、トランジスタは線形要素ではありません。
• 回路コンポーネントは双方向要素でなければなりません。つまり、電流の大きさはエネルギー源の極性に依存しません。
• 重ね合わせの定理を使用すると、素子を通過する電流、抵抗の電圧降下、ノード電圧を求めることができます。しかし、素子から消費される電力を求めることはできません。

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重ね合わせの定理に従う手順

ステップ1 ネットワークで利用可能な独立電源の数を特定します。

ステップ2 任意の1つの電源を選択し、他のすべての電源を除去します。ネットワークに従属電源がある場合、それを除去することはできません。計算全体を通じてそのまま残ります。

すべてのエネルギー源を理想電源と見なす場合、内部抵抗を考慮する必要はありません。直接電圧源を短絡し、電流源を開放します。しかし、電源の内部抵抗が与えられている場合、内部抵抗で置き換える必要があります。

ステップ3 回路に1つの独立エネルギー源のみが存在する状態になりました。この1つのエネルギー源のみで回路の応答を求めます。

ステップ4 ネットワークで利用可能なすべてのエネルギー源について、ステップ2と3を繰り返します。3つの独立電源がある場合、これらのステップを3回繰り返す必要があります。毎回、応答の値が得られます。

ステップ5 個々の電源によって得られたすべての応答を代数的に合計します。そして、ネットワークの特定の要素の応答の最終値が得られます。他の要素の応答を求める必要がある場合、その要素について再びこれらの手順を実行する必要があります。

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重ね合わせの定理 解決例

例:

重ね合わせの定理の動作を例で理解しましょう。重ね合わせの定理を使用して、与えられたネットワークの8Ω抵抗を通過する電流（I_L）を求めてください。

解答:

ステップ1 上記のネットワークに示すように、1つの電圧源と1つの電流源が与えられています。したがって、手順を2回繰り返す必要があります。

ステップ2 まず、28V電圧源がネットワークに存在すると見なします。したがって、電流源を端子を開放することで除去する必要があります。ここでは電流源を理想電流源と見なしています。したがって、内部抵抗を接続する必要はありません。

残りの回路は以下のようになります。

ステップ3 8Ω抵抗を通過する電流（I_L1）を求めます。これは電圧源のみの効果を与えます。

電流源の開放により、10Ω抵抗を電流は流れません。したがって、ネットワークは1つのループのみで構成されます。

ループにKVLを適用：

28 = 6I_L1 + 8I_L1

28 = 14I_L1

I_L1 = 28/14

I_L1 = 2A

ステップ4 同じ手順を電流源について繰り返します。この条件では、電圧源を短絡して除去します。残りの回路は以下のようになります。

ここでは2つのループを考慮する必要があります。I₁とI₂はループ電流です。I_L2を求めます。

ループ1にKVLを適用：

0 = 6I₁ + 8I₁ - 8I₂

14I₁ - 8I₂ = 0

ループ2を通過する電流は電流源から計算され、以下のようになります：

I₂ = 28A

この値を上記の式に代入：

14I₁ - 8 (28) = 0

I₁ = 16A

8Ω抵抗のブランチは両ループに共通です。したがって、8Ω抵抗を通過する合成電流（I_L2）を求める必要があります。

I_L2 = I₁ - I₂

I_L2 = 16 - 28

I_L2 = -12A

ステップ5 両電源の効果を電流の代数和で組み合わせます。8Ω抵抗を通過する総電流はI_Lです。ここで、電流の方向が最も重要です。電流I_L2はマイナス符号を持っています。これは28A電源のとき、電流が反対方向に流れることを意味します。方向を変更することはできません。そのため、すべての電源を組み合わせるとき、代数和を行っています。

I_L = I_L1 - I_L2

I_L = 2 + (-12)

I_L = -10A

図に示した矢印の方向に8Ω抵抗を電流が流れると仮定しました。マイナス符号は反対方向を示し、電流の大きさは10Aです（原文では8Aとありますが、計算上は10Aが正しいです）。

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重ね合わせの定理 実験

重ね合わせの定理実験は、以下の手順で行うことができます。

目的

抵抗器を流れる電流を決定し、重ね合わせの定理を検証する。

必要なコンポーネント

DC電源、抵抗器、DCマルチメーター、接続ワイヤー、ブレッドボードなど。

理論

重ね合わせの定理は、与えられた回路の要素の電流と電圧を求めるための回路解析で使用されます。電源の数が多いときにこの定理は有用です。

重ね合わせの定理によると、要素の応答は個々のエネルギー源からの応答の代数和です。

まず、すべての電源が接続されているときの与えられたネットワークの抵抗器を流れる電流を計算します。その後、電源を除去し、個々の電源での電流を求めます。最後に、個々の電源から測定された電流の合計が、すべての電源が接続されている回路で測定された電流と類似していることを確認します。

手順

以下の図に示す線形双方向回路を考慮します。

接続ワイヤーを使用して、上記の回路のすべての要素をブレッドボードに接続します。すべての抵抗器にアンペアメーターを接続して、抵抗器を通過する電流を求めます。ここでは2つの電圧源があります。

最初のケースでは、両方の電圧源が回路に存在するとき、すべての抵抗器を通過する電流を測定します。抵抗器R₁、R₂、R₃を通過する電流はそれぞれI₁、I₂、I₃です。

12V電圧源を回路から除去します。上図に示すように端子A'とB'を短絡します。ここでは電圧源を理想と見なしています。したがって、内部抵抗を接続する必要はありません。抵抗器R1、R2、R3を通過する電流をそれぞれI_1'、I_2'、I_3'として測定します。

同様に、9V電圧源を除去し、残りの回路は上図のようになります。再びすべての抵抗器を通過する電流を測定し、I_1''、I_2''、I_3''と名付けます。

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以下の観測表にすべての値を記入します。

観測表

電源接続	R1	R2	R3
両電源接続	I1	I2	I3
12Vのみ接続	I1'	I2'	I3'
9Vのみ接続	I1''	I2''	I3''

計算:

I₁ = I_1' + I_1''

I₂ = I_2' + I_2''

I₃ = I_3' + I_3''

個々の電源が接続されているときの抵抗器を通過する電流の代数和と、両電源が回路に接続されているときの測定電流を比較して、重ね合わせの定理を検証します。

上記の計算が満たされる場合、重ね合わせの定理を証明できます。

結論

この実験では、抵抗を通過する電流が、個々のエネルギー源が接続されているときの電流の代数和であることを証明できます。そして、重ね合わせの定理を証明します。

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重ね合わせの定理の応用

• 重ね合わせの定理はACおよびDCネットワークで使用できます。
• 独立電源の数が多いとき、ネットワークの応答を簡単に求めることができます。
• 各エネルギー源の効果を個別に計算することで、要素を通過する電流と要素両端の電圧を計算するのに役立ちます。その後、すべての電源からの要素への複合効果を決定できます。

重ね合わせの定理の欠点

• 重ね合わせの定理は、従属電源のみを持つ回路には適用できません。少なくとも2つの独立電源が必要です。
• この定理は線形要素で構成されるネットワークにのみ適用可能です。ダイオード、トランジスタなどの非線形要素には適用できません。
• この定理で電力を計算することはできません。電力は電圧と電流の2乗に比例するため、非線形になります。
• 抵抗が電圧と電流によって変化する条件では、この定理は適用できません。すべてのエネルギー源で抵抗の値は一定でなければなりません。
• この定理は双方向要素にのみ適用可能です。ネットワークの応答が電流の方向に依存する場合、この定理は適用できません。

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