テレゲンの定理：解説・解答例・MATLABシミュレーション完全ガイド

テレゲンの定理 ─ ステップバイステップ解説と解答例

テレゲンの定理とは

オランダの電気技師**ベルナール・D.H. テレゲン**が1952年に発表。ネットワーク解析における**最も基礎的かつ重要な定理**で、他の多くの定理（テブナン、ノートン、超位置等）はこの定理から導かれます。

キルヒホッフの法則に基づくため、キルヒホッフ則を満たすネットワーク（線形/非線形、時変/不変、受動/能動要素を含む）に広く適用可能。エネルギー保存則に基づき、化学・生物ネットワークの動的挙動解析や、信号処理におけるフィルタ設計にも応用されます。

定理の内容

「任意のネットワークにおいて、全ブランチの瞬時電力の総和はゼロである」

すなわち、ネットワークに供給される電力の総和と、ネットワーク内で消費される電力の総和は等しい。

数学的定式化

n個のブランチを持つネットワークで、k番目のブランチの瞬時電圧をv_k、瞬時電流をi_k、瞬時電力をp_k = v_ki_k とする。テレゲンの定理は：

Σ_{k=1 to n} v_ki_k = 0

ブランチをノードa-b間とすると、v_k = v_a − v_b、i_k = i_ab。逆方向電流i_ba = −i_ab、電圧v_k = v_b − v_a としても電力p_kは同値。キルヒホッフの電流則（ノード電流和=0）を用いると、全ブランチ電力和がゼロになることが証明されます。

テレゲンの定理適用手順

ネットワークのブランチ数を特定し、各ブランチの電圧/電流を従来解析法（KVL/KCL、節点法、メッシュ法等）で求める
各ブランチの瞬時電力 p_k = v_ki_k を計算
電源を含むブランチを「電力供給ブランチ」、それ以外を「電力吸収ブランチ」に分類
電力供給ブランチを正、電力吸収ブランチを負（または逆）として符号付け（途中で変更不可）
全ブランチ電力の代数和を求め、ゼロになることを確認

解答例

例題1：与えられたネットワークでテレゲンの定理を検証せよ

解答：

ステップ1： 5ブランチ。KVLでループ電流I₁, I₂を求める。

ループ1：15 = 12I₁ − 3I₂

ループ2：12 = −3I₁ + 6I₂

解得：I₁ = 2A, I₂ = 3A

ステップ2： ブランチ3電流 I₁₂ = I₂ − I₁ = 1A

各ブランチ電力：

P₁ = V I₁ = 15 × 2 = 30W（電源）
P₂ = R₁I₁² = 9 × 4 = 36W（抵抗）
P₃ = R₂I₁₂² = 3 × 1 = 3W（抵抗）
P₄ = R₃I₂² = 3 × 9 = 27W（抵抗）
P₅ = V I₂ = 12 × 3 = 36W（電源）

ステップ3-4： ブランチ1,5を電力供給（正）、2,3,4を電力吸収（負）と符号付け。

ステップ5： ΣP = +30 − 36 − 3 − 27 + 36 = 0W ✓ 定理成立。

例題2：6A電流源両端電圧をテレゲンの定理で求めよ

解答：

ステップ1： KVL/KCLで電流/電圧決定。

ループ2：−12 = 8I₂ − 6I₁

電流源ブランチ電流 I₁ = 6A → 代入して I₂ = 3A

ステップ2： ブランチ2電流 I₁₂ = I₁ − I₂ = 3A

各ブランチ電力：

P₁ = V × 6 = 6V（電流源、電圧未知）
P₂ = 6 × 3² = 54W（抵抗）
P₃ = 2 × 3² = 18W（抵抗）
P₄ = −12 × 3 = −36W（電圧源）

ステップ3-4： 電源ブランチ（1,4）を正、抵抗ブランチ（2,3）を負。

ステップ5： ΣP = P₁ − 54 − 18 + (−36) = 0 → P₁ = 108W

電流源電力 = 108W = V × 6A → V = 18V

MATLAB/Simulinkによる解析・シミュレーション

目的： 上記例題回路でテレゲンの定理を検証

必要環境： MATLAB/Simulink（Multisim, PSIM等も可）

理論： 全ブランチ瞬時電力和=0。KVL/KCLで各ブランチ電圧/電流を求め電力計算、或いはSimulinkモデルから直接電圧・電流・電力を取得。

Simulink表示値と手計算（KVL/KCL）値が一致。ブレッドボード実装でボルテメータ/アンペアメータ実測値とも一致。これによりテレゲンの定理が実証されます。

テレゲンの定理の応用分野

デジタル信号処理におけるフィルタ設計
化学プラント安定性判定（化学工学）
線形/非線形、能動/受動、時変/不変を含む集中定数系全般
生物学的プロセス解析
トポロジーおよび構造反応解析
物理ネットワークの動的挙動解明