MATLABでの多項式の理解：表現と評価

MATLABでは、多項式を行ベクトルとして表現し、係数を降べきの順で格納します。例えば、方程式P(x) = x⁴ + 7x³ - 5x + 9は以下のように表現できます。

p = [1 7 0 -5 9];

多項式の評価

polyval関数は、指定された値での多項式の評価に使用します。例えば、前の多項式pをx = 4で評価するには、以下のように入力します。

ライブデモ

 p = [1 7 0 -5 9]; polyval(p,4) 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = 693 

MATLABには、行列多項式を評価するpolyvalm関数も用意されています。行列多項式とは、変数が行列である多項式です。

例えば、正方行列Xを作成し、多項式pをXで評価してみましょう。

ライブデモ

 p = [1 7 0 -5 9]; X = [1 2 -3 4; 2 -5 6 3; 3 1 0 2; 5 -7 3 8]; polyvalm(p, X) 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 ans = 2307 -1769 -939 4499 2314 -2376 -249 4695 2256 -1892 -549 4310 4570 -4532 -1062 9269 

多項式の根の計算

roots関数は多項式の根を計算します。例えば、多項式pの根を計算するには、以下のように入力します。

ライブデモ

 p = [1 7 0 -5 9]; r = roots(p) 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 r = -6.8661 + 0.0000i -1.4247 + 0.0000i 0.6454 + 0.7095i 0.6454 - 0.7095i 

poly関数はroots関数の逆操作で、多項式の係数を返します。例えば、

 p2 = poly(r) 

MATLABは上記のステートメントを実行し、以下の結果を返します。

 p2 = Columns 1 through 3: 1.00000 + 0.00000i 7.00000 + 0.00000i 0.00000 + 0.00000i Columns 4 and 5: -5.00000 - 0.00000i 9.00000 + 0.00000i 

多項式による曲線フィッティング

polyfit関数は、データセットを最小二乗法でフィットする多項式の係数を求めます。xとyがフィットさせるx、yデータを含む2つのベクトルで、n次多項式にフィットさせる場合、以下のように記述してデータにフィットする多項式を得ます。

 p = polyfit(x,y,n) 

例

スクリプトファイルを作成し、以下のコードを入力します。

ライブデモ

 x = [1 2 3 4 5 6]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4 978.67]; % データ p = polyfit(x,y,4) % 多項式を取得 % より細かい範囲でpolyfitの推定値を計算し、 % 実際のデータ値と比較のためにプロット: x2 = 1:.1:6; y2 = polyval(p,x2); plot(x,y,'o',x2,y2) grid on 

ファイルを実行すると、MATLABは以下の結果を表示します。

 p = 4.1056 -47.9607 222.2598 -362.7453 191.1250 

以下のグラフをプロットします。