メッシュ電流法と解析

メッシュ-現在の方法 、ループ電流法とも呼ばれますは、連立方程式、キルヒホッフの電圧法則、およびオームの法則を使用してネットワーク内の未知の電流を決定するという点で、分岐電流法と非常によく似ています。しないという点で、BranchCurrentメソッドとは異なります。キルヒホッフの現在の法則を使用すると、通常、未知の変数が少なく、連立方程式が少ない回路を解くことができます。これは、電卓なしで解かなければならない場合に特に便利です。

メッシュ電流、従来の方法

この方法が同じ問題の例でどのように機能するかを見てみましょう：

ループの識別

メッシュ電流法の最初のステップは、すべてのコンポーネントを含む回路内の「ループ」を特定することです。この例の回路では、B ₁によって形成されるループ、R ₁ 、およびR ₂ B ₂によって形成されたループが最初になります、R ₂ 、およびR ₃ 2番目になります。メッシュ電流法の最も奇妙な部分は、各ループの循環電流を想定していることです。実際、この方法の名前は、これらの電流が回転する歯車のセットのようにループ間で互いに噛み合うという考えに由来しています。

分岐電流法の場合と同様に、各電流の方向の選択は完全に任意ですが、電流が交差するコンポーネントを同じ方向に流れる場合、結果の方程式を解くのは簡単です（電流I ₁に注意してください）。およびI ₂ 両方とも抵抗R ₂を介して「上昇」しています、「メッシュ」または交差する場所）。メッシュ電流の想定される方向が間違っている場合、その電流の答えは負の値になります。

電圧降下極性にラベルを付ける

次のステップは、メッシュ電流の想定される方向に従って、抵抗器全体のすべての電圧降下極性にラベルを付けることです。電子は負に帯電しているため、抵抗器の「上流」端は常に負であり、抵抗器の「下流」端は互いに正であることに注意してください。もちろん、バッテリーの極性は、図の記号の向きによって決まり、抵抗器の極性（電流の方向を想定）と「一致」する場合と一致しない場合があります。

キルヒホッフの電圧法則を使用して、これらの各ループを回避し、コンポーネントの電圧降下と極性を表す方程式を生成できます。分岐電流法と同様に、抵抗器の電圧降下を、抵抗器（オーム単位）とそれぞれのメッシュ電流（この時点ではその量は不明）の積として示します。 2つの電流が互いに噛み合う場合、抵抗電流を合計として、その項を方程式に記述します。 2つのメッシュ電流の。

方程式を使用して回路の左ループをトレースする

回路の左ループをトレースし、左上隅から始めて反時計回りに移動し（開始点と方向の選択は最終的には無関係です）、電圧計を手に持っているかのように極性を数え、前方の点に赤いリード線を付けます後ろのポイントに黒いリードがあると、次の方程式が得られます：

方程式の中間項はメッシュ電流の合計I ₁を使用していることに注意してください。およびI ₂ 抵抗R ₂を流れる電流として。これは、メッシュ電流I ₁が原因です。およびI ₂ R ₂を同じ方向に進んでいます、したがって、互いに補完し合います。係数2をI ₁に分配するおよびI ₂ 用語、次にI ₁を組み合わせる方程式の項を使用すると、次のように簡略化できます。

現時点では、2つの未知数を持つ1つの方程式があります。 2つの未知のメッシュ電流を解くには、2つの方程式が必要です。回路のもう一方のループをトレースすると、別のKVL方程式を取得でき、2つの電流を解くのに十分なデータが得られます。私の習慣の生き物です。右のループの左上隅から始めて、反時計回りにトレースします。

前と同じように方程式を単純化すると、次のようになります。

未知の問題を解決する

ここで、2つの方程式を使用して、いくつかの方法の1つを使用して、未知の電流I ₁を数学的に解くことができます。およびI ₂ ：

回路の再描画

これらのソリューションがメッシュの値であることを知っている ブランチではなく、電流電流については、図に戻って、すべてのコンポーネントに電流を流すためにそれらがどのように組み合わされているかを確認する必要があります。

I ₂の-1アンペアのソリューションこれは、最初は電流の方向が間違っていると想定したことを意味します。実際には、I ₂ （正の）1アンペアの値で反時計回りに流れています：

この電流方向の最初の想定からの変更により、R ₂の両端の電圧降下の極性が変化します。およびR ₃ 現在のI ₂による。ここから、R ₁を流れる電流と言えます。は5アンペアで、R ₁の両端の電圧降下があります。電流と抵抗（E =IR）の積であり、20ボルト（左側が正、右側が負）。

また、R ₃を流れる電流は安全に言えます。は1アンペアで、電圧降下は1ボルト（E =IR）で、左側が正、右側が負です。しかし、R ₂で何が起こっているのか？

メッシュ電流I ₁ R ₂を介して「ダウン」します、メッシュ電流I ₂ R ₂を介して「上昇」します。 R ₂を流れる実際の電流を決定するには、メッシュ電流I ₁を確認する必要がありますおよびI ₂ 相互作用し（この場合、彼らは反対です）、代数的にそれらを追加して、最終的な値に到達します。 I ₁以降 5アンペアで「ダウン」し、I ₂ 本物の1アンペアで「上昇」します R ₂を流れる電流「ダウン」する4アンペアの値である必要があります：

R ₂を流れる4アンペアの電流の2Ωの抵抗により、8ボルト（E =IR）の電圧降下が得られ、上部が正、下部が負になります。

メッシュ電流解析の利点

メッシュ電流解析の主な利点は、一般に、未知の値が少なく、連立方程式が少ない大規模なネットワークのソリューションが可能になることです。この例の問題では、分岐電流法を解くために3つの方程式を取り、メッシュ電流法を使用する場合は2つの方程式のみを取りました。ネットワークの複雑さが増すにつれて、この利点ははるかに大きくなります。

分岐電流を使用してこのネットワークを解決するには、回路内のすべての固有の電流を説明する5つの変数を確立する必要があります（I ₁ I ₅を介して）。これには、2つのKCL方程式と3つのKVL方程式（ノードでのKCLの2つの方程式、および各ループでのKVLの3つの方程式）の形式で、解に5つの方程式が必要になります。

5つの方程式で5つの未知の変数を解く以外に時間と関係がない場合は、この回路の解析の分岐電流法を使用してもかまいません。 持っている私たちのために私たちの時代とのより良い関係として、メッシュ電流法ははるかに簡単で、3つの未知数と3つの方程式だけを解く必要があります：

使用する方程式が少ないことは、特に（計算機なしで）連立方程式の解を手動で実行する場合に、決定的な利点です。

アンバランスホイートストンブリッジ

メッシュ電流に適した別のタイプの回路は、不平衡ホイートストンブリッジです。この回路を例にとってみましょう：

R ₁の比率から / R ₄ およびR ₂ / R ₅ が等しくない場合、抵抗R ₃の両端に電圧が発生することがわかっています。、およびそれを流れるある程度の電流。この章の冒頭で説明したように、このタイプの回路は通常の直並列解析では既約であり、他の方法でしか解析できない場合があります。

この回路に分岐電流法を適用することもできますが、 6 電流（I ₁ I ₆を介して）、解くべき連立方程式の非常に大きなセットにつながります。ただし、メッシュ電流法を使用すると、はるかに少ない変数ですべての電流と電圧を解くことができます。

メッシュの描画

メッシュ電流法の最初のステップは、回路内のすべてのコンポーネントを説明するのに十分なメッシュ電流を引き出すことです。ブリッジ回路を見ると、これらの電流のうち2つをどこに配置するかが明らかです。

もちろん、これらのメッシュ電流の方向は任意です。ただし、この回路では2つのメッシュ電流では不十分です。どちらもI ₁ではないためです。また、I ₂ バッテリーを通過します。したがって、3番目のメッシュ電流I ₃を追加する必要があります：

ここでは、I ₃を選択しましたバッテリーの下側からR ₄を介してループします、R ₁を介して、バッテリーの上面に戻ります。 I ₃に選択できたパスはこれだけではありません、しかしそれは最も簡単なようです。

抵抗器の電圧降下極性にラベルを付ける

ここで、想定される各電流の方向に従って、抵抗器の電圧降下の極性にラベルを付ける必要があります。

ここで非常に重要なことに注意してください。抵抗R ₄で、それぞれのメッシュ電流の極性は一致しません。これは、これらのメッシュ電流（I ₂ およびI ₃ ）R ₄を通過していますさまざまな方向に。これは、メッシュ電流分析方法の使用を排除するものではありませんが、少し複雑になります。後で、R ₄を回避する方法を示します。現在の衝突。（以下の例を参照）

KVLの使用

ブリッジのトップループのKVL方程式を生成します。トップノードから開始し、時計回りにトレースします。

この方程式では、電流の一般的な方向を合計で表します。一般的な抵抗器を介して。たとえば、抵抗R ₃ 、値が100Ωの場合、その電圧降下は上記のKVL式で式100（I ₁ + I ₂ ）、両方の電流I ₁ およびI ₂ R ₃を通過します右から左へ。抵抗R ₁についても同じことが言えます。、その電圧降下式は150（I ₁ + I ₃ ）、両方のI ₁ およびI ₃ その抵抗器を下から上に移動し、一緒に 電圧降下を生成します。

抵抗R ₄を介して2つの電流が互いに逆流するため、ブリッジの下部ループのKVL方程式を生成するのはそれほど簡単ではありません。。これが私がそれを行う方法です（右側のノードから開始し、反時計回りにトレースします）：

方程式の元の形式の第2項に抵抗R ₄があることに注意してください。の値300Ωに差を掛けたもの I ₂の間およびI ₃ （I ₂ -I ₃ ）。これは、同じコンポーネントを反対方向に流れる2つのメッシュ電流の複合効果を表す方法です。ここでは、適切な数学的記号を選択することが非常に重要です：300（I ₂ -I ₃ ）は300（I ₃ -I ₂ ）。 300（I ₂ -I ₃ ）私が最初に考えていたのは₂ の効果（正の電圧降下を生成し、R ₄の両端の架空の電圧計で測定、下部に赤いリード、上部に黒いリード）、2番目にI ₃ の効果（負の電圧降下を作成し、下部に赤いリード線、上部に黒いリード線を作成します）。 I ₃の観点から考えていたらの効果が最初で、I ₂ 第二に、私の想像上の電圧計のリード線を同じ位置（下部が赤、上部が黒）に保持すると、式は-300（I ₃）になります。 -I ₂ ）。この式はであることに注意してください最初のものと数学的に同等：+300（I ₂ -I ₃ 。

これで2つの方程式が処理されますが、3つの変数、3つの方程式の連立方程式セットを完成させるには、3番目の方程式が必要です。この3番目の式には、バッテリーの電圧も含める必要があります。これまでは、前のKVL式の2つには表示されませんでした。この式を生成するために、バッテリーの下部（負）端子から時計回りにステップする仮想電圧計でループを再度トレースします（ここでも、ステップする方向は任意であり、方向と同じである必要はありません）。そのループ内のメッシュ電流の）：

流れを解く

I ₁を解く、I ₂ 、およびI ₃ 私たちが好む連立方程式の方法を使用する：

例： Octaveを使用して、I ₁の解決策を見つけます、I ₂ 、およびI ₃ 上記の簡略化された形式の方程式から。

解決策： オープンソースのMatlab®クローンであるOctaveで、列要素がコンマで区切られ、行がセミコロンで区切られた角括弧の間のA行列に係数を入力します。列ベクトルに電圧を入力します。b。未知の電流：I ₁ 、₂ 、およびI ₃ 次のコマンドで計算されます：x =A \ b。これらはx列ベクトル内に含まれています。

 オクターブ：1> A =[300,100,150; 100,650、-300; -150,300、-450] A =300100150 100 650 -300 -150 300 -450 オクターブ：2> b =[0; 0; -24] b =0 0 -24 オクターブ：3> x =A \ b x =-0.093793 0.077241 0.136092

I ₁の負の値に到達しましたそのメッシュ電流の想定方向が正しくなかったことを示しています。したがって、各抵抗器を流れる実際の電流値は次のようになります。

各抵抗器の両端の電圧降下の計算：

SPICEシミュレーションにより、電圧計算の精度が確認されます。

不均衡なホイートストンブリッジ v1 1 0 r1 1 2 150 r2 1 3 50 r3 2 3100 r4 2 0300 r5 3 0 250 .dc v1 24 24 1 .print dc v（1,2）v（1,3）v（3,2）v（2,0）v（3,0） 。終わり v1 v（1,2）v（1,3）v（3,2）v（2）v（3） 2.400E + 01 6.345E + 00 4.690E + 00 1.655E + 00 1.766E + 01 1.931E + 01

例：

（a）現在のI ₃の新しいパスを見つける I ₁と比較して、どの抵抗でも極性が競合することはありません。またはI ₂ 。 R ₄ 問題のあるコンポーネントでした。（b）I ₁の値を見つける、I ₂ 、およびI ₃ 。（c）5つの抵抗電流を見つけて、以前の値と比較します。

解決策：

（a）ルートI ₃ R ₅を介して、R _3、およびR ₁ 示されているように：

R ₄の極性が競合していることに注意してください削除されました。さらに、他のどの抵抗器にも相反する極性はありません。

（b）オープンソース（無料）のMatlabクローンであるOctaveは、「x」でメッシュ電流ベクトルを生成します：

 オクターブ：1> A =[300,100,250; 100,650,350; -250、-350、-500] A =300100250 100 650 350 -250 -350 -500 オクターブ：2> b =[0; 0; -24] b =0 0 -24 オクターブ：3> x =A \ b x =-0.093793 -0.058851 0.136092

すべての電流I ₁ではありません、I ₂ 、およびI ₃ 同じです（I ₂ ）ループパスが異なるため、前のブリッジと同じです。ただし、抵抗電流は前の値と比較されます。

 IR1 =I1 + I3 =-93.793 ma + 136.092 ma =42.299 ma IR2 =I1 =-93.793 ma IR3 =I1 + I2 + I3 =-93.793 ma -58.851 ma + 136.092 ma =-16.552 ma IR4 =I2 =-58.851 ma IR5 =I2 + I3 =-58.851 ma + 136.092 ma =77.241 ma

抵抗電流は以前の値と同じであるため、抵抗電圧は同じになり、再度計算する必要はありません。

レビュー：

「メッシュ電流」分析方法の手順：
（1）回路のループにメッシュ電流を流し、すべてのコンポーネントを考慮します。
（2）メッシュ電流の想定される方向に基づいて抵抗器の電圧降下極性にラベルを付けます。
（3）回路の各ループのKVL方程式を記述し、方程式の各抵抗項のEを積IRに置き換えます。 2つのメッシュ電流がコンポーネントを介して交差する場合、それらの2つのメッシュ電流の代数和としての電流を表します（つまり、I ₁ + I ₂ ）電流がそのコンポーネントを同じ方向に流れる場合。そうでない場合は、差の時点での電流を表します（つまり、I ₁ -I ₂ 。
（4）未知のメッシュ電流を解きます（連立方程式）。
（5）いずれかの解が負の場合、想定される現在の方向は間違っています！
（6）メッシュ電流を代数的に追加して、複数のメッシュ電流を共有する電流コンポーネントを見つけます。
（7）すべての抵抗器での電圧降下を解決します（E =IR）。

検査によるメッシュ電流

すべての電流が時計回り（cw）に流れる「メッシュ電流法」をもう一度見てみましょう。動機は、抵抗器の電圧降下の極性を無視することにより、メッシュ方程式の記述を単純化することです。ただし、想定される電流方向に対する電圧源の極性に注意する必要があります。抵抗器の電圧降下の兆候は、固定されたパターンに従います。

以下の回路の従来のメッシュ電流方程式のセットを記述し、抵抗器の両端の電圧降下の兆候に注意を払うと、係数を固定パターンに再配置できます。

再配置したら、検査によって方程式を書くことができます。係数の符号は、上記のペアの固定パターン、または以下のルールの3つのセットに従います。

現在のルールをメッシュ化する：

この方法は、従来の電流フロー電圧源を想定しています。並列の電流源を、等価抵抗と直列の等価電圧源の抵抗と交換します。
抵抗器の電流方向または電圧極性を無視して、すべてのコンポーネントを横断する反時計回りの電流ループを描画します。ネストされたループは避けてください。
未知の電流の観点から電圧法則の方程式を書く：I ₁ 、I ₂ 、およびI ₃ 。式1の係数1、式2、係数2、および式3の係数3は、それぞれのループの周りの抵抗の正の合計です。
他のすべての係数は負であり、ループのペアに共通の抵抗を表します。式1の係数2は、ループ1と2に共通の抵抗であり、係数3は、ループ1と3に共通の抵抗です。他の式と係数についても繰り返します。
+（Rのループ1の合計）I1-（一般的なRループ1-2）I2-（一般的なRループ1-3）I3 =E1
-（一般的なRループ1-2）I1 +（ Rのループの合計2）I2-（一般的なRループ2-3）I3 =E2
-（一般的なRループ1-3）I1-（一般的なRループ2-3）I2 +（Rのループ3の合計）I3 =E3
方程式の右辺は、電子電流の流れの電圧源に等しくなります。反時計回りの想定電流に対する電圧上昇は正であり、電圧源がない場合は0です。
メッシュ電流の方程式を解く：I ₁ 、I ₂ 、およびI3。 KCLを使用して個々の抵抗器を流れる電流を解きます。オームの法則とKVLで電圧を解きます。

上記のルールは3メッシュ回路に固有のものですが、ルールはより小さなメッシュまたはより大きなメッシュに拡張できます。次の図は、ルールの適用を示しています。 3つの電流はすべて、時計回りに同じ方向に流れます。 3つのループのそれぞれに対して1つのKVL方程式が記述されます。抵抗器には極性がないことに注意してください。係数の符号を決定するためにそれは必要ありません。ただし、電流の方向に対する電圧源の極性に注意する必要があります。 I ₃ 時計回りの電流は、l24Vソースの（+）正端子から流れ出て、（-）端子に戻ります。これは、従来の電流の流れの電圧上昇です。したがって、右辺の3番目の式は-24Vです。

Octaveで、列要素をコンマで区切り、行をセミコロンで区切って、係数をA行列に入力します。列ベクトルbに電圧を入力します。未知の電流を解きます：I ₁ 、I ₂ 、およびI ₃ コマンドを使用して：x =A \ b。これらの電流は、x列ベクトル内に含まれています。正の値は、3つのメッシュ電流がすべて想定される時計回りの方向に流れることを示します。

 オクターブ：2> A =[300、-100、-150; -100,650、-300; -150、-300,450] A =300-100-150 -100 650 -300 -150 -300 450 オクターブ：3> b =[0; 0; 24] b =0 0 24 オクターブ：4> x =A \ b x =0.093793 0.077241 0.136092

メッシュ電流は、別のメッシュ電流方法による以前のソリューションと一致します。抵抗器の電圧と電流の計算は、前のソリューションと同じになります。ここで繰り返す必要はありません。

電気工学のテキストは、従来の電流の流れに基づいていることに注意してください。これらのテキストのloop-current、mesh-currentメソッドは、想定されるメッシュ電流を時計回りで実行します。。従来の電流は、回路を介してバッテリーの（+）端子から流れ出し、（-）端子に戻ります。従来の電流-電圧上昇は、任意の電圧源を介して（-）から（+）までの想定電流をトレースすることに対応します。

前の回路のもう1つの例を次に示します。ループ1の周りの抵抗は6Ω、ループ2の周りの抵抗は3Ωです。両方のループに共通の抵抗は2Ωです。 I ₁の係数に注意してくださいおよびI ₂ 方程式のペアで。想定される時計回りのループ1の電流をB ₁にトレースする（+）から（-）へは電子電流の流れ電圧の上昇に対応します。

したがって、28Vの符号は正です。ループ2は、B ₂を介して反時計回りに想定される電流トレース（-）から（+）までをトレースします。、電圧降下。したがって、B ₂の符号は負で、2番目のメッシュ方程式では-7です。繰り返しになりますが、抵抗器には極性のマーキングはありません。また、方程式を理解することもありません。

電流I ₁ =5 A、およびI ₂ =1Aは両方とも正です。それらは両方とも時計回りのループの方向に流れます。これは以前の結果と比較されます。

概要：

修正されたメッシュ電流法では、従来の電流の流れに対してすべてのメッシュ電流を時計回りに引くことにより、方程式の係数の符号を決定する必要がなくなります。
ただし、ループ内の電圧源の符号を判別する必要があります。想定されるccw電流がバッテリー（ソース）に流れる場合、電圧源は正です。想定されるccw電流がバッテリーに流れる場合、符号は負になります。
詳細については、上記のルールをご覧ください。

関連ワークシート：

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分岐電流法ノード電圧法

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