電子工学における数値と記号の解読

数量の表現は、私たちが当たり前のように扱っているものです。これは電子工学の学習において、良い面と悪い面の両方を持っています。

良い面は、電子回路の解析に用いられる多くの計算において、数値の使用と操作に慣れ親しんでいることです。

一方、義務教育から教わってきた特定の記数法が、現代の電子計算機デバイスで内部的に使用されているシステムとは異なるため、異なる記数法を学ぶには、深く染み付いた前提を再検討する必要があります。

数値

まず、数値そのものと、数値を表すために用いる記号の違いを区別しなければなりません。数値とは数学的な量であり、電子工学では通常、電圧、電流、抵抗などの物理量と関連付けられます。数値にはさまざまな種類があります。主なものをいくつか挙げます。

自然数

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …

整数

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 …

無理数

π（約3.1415927）、
e（約2.718281828）、
素数の平方根

実数

（負および正のすべての一次元数値、ゼロ、自然数、整数、無理数を含む）

複素数

3 - j4、34.5 ∠ 20°

異なる種類の数値は、物理世界において異なる用途を見出します。自然数は、回路内の抵抗器の個数など、離散的な物体を数えるのに適しています。整数は、自然数の負の値が必要な場合に用いられます。

無理数は、2つの整数の比として厳密に表せない数値であり、完全な円の円周と直径の比（π）がその好例です。直流回路で扱う電圧、電流、抵抗の非整数量は、分数または小数の形で実数として表せます。

しかし、交流回路解析では、実数では大きさと位相角という二重の性質を捉えきれません。そこで、複素数を直交形式または極形式で用いることになります。

記号

物理世界のプロセスを理解し、科学的予測を行い、家計簿をつけるために数値を用いるなら、それらを象徴的に表記する方法が必要です。

つまり、銀行口座の残高を知っていても、それを紙や他の媒体に記録し、管理・追跡するための体系がなければなりません。

アナログとデジタル

これを行うには、アナログとデジタルの2つの基本的な方法があります。アナログ表現では、量は無限に分割可能な形で象徴されます。デジタル表現では、量は離散的にパッケージ化された形で象徴されます。

アナログ表現

あなたはおそらく、それがアナログ表現だとは気づかずに、お金のアナログ表現にすでに親しんでいます。募金ポスターで、赤い柱の高さで集まった金額を示す「温度計」の絵を見たことはありませんか？ 集まった金額が多いほど、ポスター上の赤い柱は高くなります。

 

 

これは数値のアナログ表現の一例です。その柱の高さを、口座内の金額を象徴するためにどれだけ細かく分割できるかに、実質的な限界はありません。その柱の高さを変えることは、その本質的な性質を変えることなく行えます。

長さは、実用上の限界なく、いくらでも小さく分割できる物理量です。計算尺は、まさにこの物理量である「長さ」を用いて数値を表現し、2つ以上の数値で算術演算を行うのを助ける機械的デバイスです。これもアナログデバイスです。

デジタル表現

一方、同じ金額を標準的な記号（時に「暗号」と呼ばれる）で書いたデジタル表現は、次のようになります。

$35,955.38

赤い柱の「温度計」ポスターとは異なり、これらの象徴的な文字を細かく分割することはできません。この特定の暗号の組み合わせは、一つの量、そしてその量だけを表します。

口座にさらに金額が追加された場合（+ $40.12）、新しい残高（$35,995.50）を表すには、異なる記号を用いるか、少なくとも同じ記号を異なるパターンで配置しなければなりません。これがデジタル表現の例です。

計算尺（アナログ）の対応するデジタルデバイスは、算盤です。算盤では、棒の上を玉が前後に動いて数量を象徴します。

 

アナログ表現とデジタル表現の対比

この2つの数値表現方法を対比してみましょう。

アナログ                       デジタル
------------------------------------------------------------------
直感的に理解可能   ----------- 解釈には訓練が必要
無限に分割可能 -------------- 離散的
精度の誤差が生じやすい ------ 絶対的な精度

 

数値記号の解釈は、長年教わってきたため当たり前と思われがちです。しかし、十進法の数字を知らない人に何かの量を伝えようとした場合、その人はシンプルな温度計チャートなら理解できるでしょう！

「無限に分割可能か離散的か」と「精度」の比較は、実は同じコインの裏表です。デジタル表現が個々の離散的な記号（十進法の数字や算盤の玉）で構成されるという事実は、それが量を精密なステップで象徴できることを必然的に意味します。

一方、アナログ表現（計算尺の長さなど）は個々のステップで構成されるのではなく、連続的な動きの範囲です。計算尺が数値を無限の分解能で特徴づけられる能力は、不精確さとのトレードオフです。

計算尺を衝撃を与えると、「入力」されていた数値の表現に誤差が生じます。しかし、算盤の玉が完全に位置を変わって別の数値を表すほど激しく衝撃を与えるのは、ずっと困難です。

この精度の違いを、デジタル表現が必ずしもアナログより正確だという意味で誤解しないでください。時計がデジタルだからといって、アナログ時計より常に正確に時を刻むわけではありません。ただ、その表示の解釈がより曖昧でないというだけです。

アナログとデジタル表現の分割性は、無理数の表現について語ることでさらに明確になります。πのような数値は、整数の分数として厳密に表せないため無理数と呼ばれます。

以前、計算では22/7をπとして使えると習ったかもしれませんが、これはあくまで近似値です。実際の「π」は、有限の、限られた桁数の小数では厳密に表せません。πの数字は永遠に続きます：

3.1415926535897932384 …

理論上は、計算尺（あるいは温度計の柱）を、πを完璧に表す位置に設定することが可能です。なぜなら、アナログ記号には、増減できる程度に最小限度がないからです。

もし計算尺が3.141593を示していて、3.141592654にしたいなら、少しだけ動かせばより近づけられます。しかし、算盤のようなデジタル表現では、πをさらに高い精度で表すために、追加の桁（位取り、つまり桁数）が必要です。

10桁の算盤では、玉をどう動かしてもπを10桁以上表すことはできません。πを完璧に表すには、無限の玉と桁を持つ算盤が必要です！ もちろん、アナログ記号を調整し、読み取る実用的な限界というトレードオフがあります。

実用的には、計算尺の目盛りを10桁目の精度で読むことはできません。目盛りが粗く、人間の視力に限界があるからです。一方、算盤なら、解釈の誤差なしに設定し、読み取ることができます。

さらに、アナログ記号は、正確な解釈のために比較するための何らかの基準を必要とします。計算尺には、長さを標準量に変換するための目盛りがスライドに沿って印刷されています。

温度計チャートでも、その高さに沿って数字が書かれ、赤い柱の高さが何ドルを表すかを示しています。もし私たち全員が、手を離す距離を変えて単純な数を伝えようとしたらどうなるか想像してみてください。

1なら1インチ、2なら2インチ離す、という具合です。誰かが17を表すために17インチ手を離したら、周りの誰もが即座に正確に17と解釈できるでしょうか？ おそらく無理です。

ある人は15や16と短く見積もり、ある人は18や19と長く見積もるでしょう。もちろん、釣り自慢をする人が量を過大評価しても気にしないのは別として！

おそらくこれが、特に日常生活で最も応用される自然数や整数を表すのに、人々が一般的にデジタル記号を採用してきた理由です。

私たちの手の指を使えば、0から10までの整数を象徴する手段がすぐ手に入ります。紙、木、石に縦線を引いて、同じ量を非常に簡単に表せます：

しかし、大きな数になると、「縦線」数え上げシステムはあまりに非効率です。