複素数の極形式と直交形式：実践ガイド
複素数は工学と数学の多くの分野を支えています。毎回ベクトルを描かずに効率的に扱うため、極形式と直交形式という2つの標準表記が用いられます。この記事では両形式、相互変換ルール、それぞれが最も有用な場面を説明します。
複素数の極形式
極形式では複素数を大きさ（モジュラス、絶対値とも呼ばれる）と、正の実軸とのなす角度で表現します。角度は通常∠記号で書きます。
地図を想像してください：ニューヨークからサンディエゴへのベクトルの極形式は「2400マイル、南西」となるかもしれません。以下に2つのベクトルとその極形式を示します：
極形式表記のベクトル。
AC回路計算での標準配置は、0°を右（東）、90°を真上（北）、180°を左（西）、270°を真下（南）とします。「下」を指すベクトルは180°超の角度、または0°未満の負角度で表せます。例えば∠270°（真南）は–90°とも書けます。同様に7.81∠230.19°は7.81∠–129.81°とも表せます。
ベクトルコンパス。
複素数の直交形式
直交形式は複素数を水平（実部）と垂直（虚部）成分で記述します。視覚的には、複素数は直角三角形の斜辺で、水平辺が実部、垂直辺が虚部を表します。
純粋数学では虚部に小文字iを、電気工学ではjを前置します。これらは純粋な記法上の演算子であり、物理量を表しません。
例：
直交形式：水平（実部）＋垂直（虚部）成分。
実軸は馴染みの数直線に対応し、虚軸は実軸から90°回転した第2の数直線です。
実軸と虚軸（j）を示すベクトルコンパス。
複素数は二次元なので、それらを表現するには2つの直交軸が必要です。結合図は次のようになります：
実数直線と虚数直線（j）を持つベクトルコンパス。
極形式から直交形式への変換
両形式とも有効で、操作によって使い分けます。直交形式は加減算に便利、極形式は乗除算を簡素化します。極→直交変換は基本三角関数を用います：
- 実部 = 大きさ × cos(角度)
- 虚部 = 大きさ × sin(角度)
これらの関係は複素数の直角三角形表現から導かれます。
大きさベクトルを実部（4）と虚部（j3）で表現。
直交形式から極形式への変換
逆変換では、まずピタゴラスの定理で大きさを求め、次に虚部/実部比のアークタンジェントで角度を決定します：
- 大きさ = √(実部² + 虚部²)
- 角度 = atan2(虚部, 実部)
計算例は次の図に示します：
重要ポイント
- 極形式は複素数を長さ（大きさ）と方向（角度）で表現します。
- 直交形式は水平（実部）と垂直（虚部）成分で表現します。
- 虚部は電気工学では小文字
j、数学ではiで書きます。 - 両形式は直角三角形に対応：斜辺＝大きさ、隣辺＝実部、対辺＝虚部。
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