直列RL回路の解析：インピーダンス、位相、SPICE検証

前節では単純な抵抗のみ、インダクタのみのAC回路を調べました。ここでは両素子を直列に組み合わせ、抵抗とリアクタンスがどのように相互作用し、全体の回路挙動を形作るかを探ります。

直列抵抗・インダクタ回路の例

以下の回路図を考えます：

直列抵抗・インダクタ回路：電流は印加電圧に0°〜90°遅れる。

抵抗器は全周波数で5Ωの固定抵抗を提供し、インダクタは60Hzで3.7699Ωの誘導リアクタンスを寄与します。抵抗器の抵抗は純粋に実数（5Ω ∠ 0°）、インダクタの抵抗は純粋に虚数（3.7699Ω ∠ 90°）であるため、それらの総合効果は複素和となり、これをインピーダンスと呼びます。

インピーダンスはZで表され、抵抗やリアクタンスと同様にオームで測定されますが、大きさと位相の両方の情報を包含します。

したがって、総回路インピーダンスは：

ACにおける抵抗とオームの法則

インピーダンスは、DC回路における抵抗と同様に電圧と電流を関連付けます：

このオームの法則の一般化は、素子が抵抗性、誘導性、またはそれらの組み合わせであっても、あらゆるACネットワークに適用されます。直列または並列配置では、素子群全体を単一のインピーダンスとして扱います。

電流を求めるため、まず電圧源の位相基準を確立します。慣例的に0°とします。抵抗器の電圧は電流と同位相（0°シフト）、インダクタの電圧は電流に+90°先行します。

この混合回路では、全体の電流は電源電圧に対してわずか37.016°遅れ、純粋な誘導回路で見られる90°遅れよりはるかに小さくなります。

直列L-R回路では電流が電圧に遅れる。

数学的に、各素子の電圧は電流との個別の位相関係を反映します：

抵抗器の電圧は電流と同位相であり、両者が同位相であることを確認できます。逆に、インダクタの電圧は電流から90°位相がずれています：

キルヒホッフの電圧法則の再訪

キルヒホッフの電圧法則（KVL）は複素量でも成り立ちます：

SPICEによる検証

解析結果をSPICEで検証しました：

SPICE回路：R-L

v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
l1 2 0 10m
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end

freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 7.985E+00 6.020E+00 1.597E+00
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 -3.702E+01 5.298E+01 1.430E+00

SPICEは電流を電源に対して180°オフセットした位相で報告します。これは物理的解釈に影響しない慣例です。抵抗器とインダクタの電圧位相角は解析予測（-37.02°と52.98°）と一致します。

計算プロセスを効率化するため、表形式の手法を用います。表には各素子のインピーダンスを直交形式と極形式で記載し、それらを合計して総インピーダンスを求めます。オームの法則（I = E/Z）を用いて共通の直列電流を計算し、その後各電圧降下を決定します。

以下は表アプローチの概略図（簡略化）：

直列回路であるため、同じ電流がすべての素子を流れます。総電流が得られたら、各素子のインピーダンスを乗じて対応する電圧降下を求めます。この方法はDCアプローチを反映していますが、複素演算を必要とします。

AC解析ではすべての量を複素数で表現する必要があります。位相を無視すると誤った結果になります。位相を適切に考慮すれば、解析手法は本質的にDC回路解析と同一です。

ボルトメータやアンペアメータなどの計器読み取り値は、複素フェーザの大きさ（極形式）に対応します。例えば、抵抗器両端のボルトメータは7.9847Vを示し、直交成分の6.3756V + j4.8071Vではありません。

まとめ：

• インピーダンス（Z）は抵抗（R）とリアクタンス（X）の複素和である。
• 直列インピーダンスは代数的に加算：Z_total = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ。
• 純抵抗インピーダンスの位相は0°、純誘導インピーダンスの位相は+90°。
• ACオームの法則：E = IZ、I = E/Z、Z = E/I。
• 混合R-L回路では、インピーダンス位相は0°〜+90°、電流位相は0°〜–90°の間にある。
• 直列AC回路はDCと同じルールに従う：均一な電流、加算される電圧降下、加算されるインピーダンス。

例：60Hzで40Ωの抵抗と79.58mHのインダクタが直列接続。

• XL = 2πfL = 30Ω。
• Z = R + jXL = 40 + j30Ω。
• |Z| = √(40² + 30²) = 50Ω。
• ∠Z = arctan(30/40) = 36.87°。
• Z = 50Ω ∠ 36.87°。

まとめ

• インピーダンスは電流に対する総抵抗を複素数で定量化する。
• 直列インピーダンスは直接加算；計算は複素形式で行う必要がある。
• 純抵抗または誘導成分は固定位相角を持つ。
• オームの法則は複素インピーダンスを介してAC回路に一般化される。
• 混合回路は中間的な位相角を示す。
• 直列AC回路はDCの基礎を反映する。

関連ワークシート

• インダクタワークシート
• 抵抗、リアクタンス、インピーダンスワークシート
• 誘導リアクタンスワークシート