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MATLAB-微分

MATLAB は diff を提供します 記号導関数を計算するコマンド。最も単純な形式では、微分したい関数を引数として diff コマンドに渡します。

たとえば、関数 f(t) =3t 2 の導関数を計算してみましょう。 + 2t -2

スクリプト ファイルを作成し、次のコードを入力します −

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

上記のコードをコンパイルして実行すると、次の結果が生成されます −

ans =
6*t - 4/t^3

以下は、上記の計算に相当するオクターブです-

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave はコードを実行し、次の結果を返します −

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

初等微分規則の検証

関数を微分するためのさまざまな方程式またはルールを簡単に述べ、これらのルールを検証しましょう。この目的のために、一次微分を f'(x) と書き、二次微分を f"(x) と書きます。

以下は差別化のルールです −

ルール 1

任意の関数 f と g および任意の実数 a と b について、関数の導関数です −

h(x) =af(x) + bg(x) x に関しては −

で与えられる

h'(x) =af'(x) + bg'(x)

ルール 2

合計引き算 規則では、f と g が 2 つの関数である場合、f' と g' はそれぞれその導関数であると述べられています。

(f + g)' =f' + g'

(f - g)' =f' - g'

ルール 3

製品 ルールは、f と g が 2 つの関数である場合、f' と g' はそれぞれそれらの導関数であると述べています。

(f.g)' =f'.g + g'.f

ルール 4

ルールは、f と g が 2 つの関数である場合、f' と g' はそれぞれそれらの導関数であると述べています。

(f/g)' =(f'.g - g'.f)/g 2

ルール 5

多項式 または初等べき乗則は、y =f(x) =x n の場合、 の場合、f' =n です。 x (n-1)

この規則の直接的な結果は、定数の導関数がゼロになることです。つまり、y =k の場合です。 、任意の定数、その後

f' =0

ルール 6

チェーン ルールは、関数 h(x) =f(g(x)) の関数の導関数を示しています xに関しては、

h'(x)=f'(g(x)).g'(x)

スクリプト ファイルを作成し、次のコードを入力します −

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

ファイルを実行すると、MATLAB は次の結果を表示します −

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

以下は、上記の計算に相当するオクターブです-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave はコードを実行し、次の結果を返します −

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

指数関数、対数関数、三角関数の導関数

次の表は、一般的に使用される指数関数、対数関数、三角関数の導関数を示しています −

機能 派生物
c a.x c a.x .ln c.a (ln は自然対数)
e x e x
ln x 1/x
lnc × 1/x.ln c
x x x x .(1 + ln x)
sin(x) cos(x)
cos(x) -sin(x)
tan(x) 2 (x)、または 1/cos 2 (x)、または 1 + tan 2 (x)
ベビーベッド(x) -csc 2 (x)、または -1/sin 2 (x)、または -(1 + ベビーベッド 2 (x))
秒(x) sec(x).tan(x)
csc(x) -csc(x).cot(x)

スクリプト ファイルを作成し、次のコードを入力します −

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

ファイルを実行すると、MATLAB は次の結果を表示します −

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

以下は、上記の計算に相当するオクターブです-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave はコードを実行し、次の結果を返します −

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

高次導関数の計算

関数 f の高次導関数を計算するには、構文 diff(f,n) を使用します .

関数 y =f(x) =x .e -3x の 2 次導関数を計算してみましょう。

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB はコードを実行し、次の結果を返します −

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

以下は、上記の計算に相当するオクターブです-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave はコードを実行し、次の結果を返します −

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

この例では、問題を解いてみましょう。関数 y =f(x) =3 sin(x) + 7 cos(5x) .方程式 f" + f =-5cos(2x) かどうかを調べる必要があります。

スクリプト ファイルを作成し、次のコードを入力します −

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

ファイルを実行すると、次の結果が表示されます-

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

以下は、上記の計算に相当するオクターブです-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave はコードを実行し、次の結果を返します −

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

曲線の最大値と最小値を見つける

グラフの極大値と極小値を検索する場合、基本的には、特定の場所での関数のグラフ上の最高点または最低点、またはシンボリック変数の値の特定の範囲を探しています。

関数 y =f(x) の場合、グラフの傾きがゼロであるグラフ上の点は 静止点 と呼ばれます .つまり、静止点は f'(x) =0 の場所です。

微分した関数の定常点を見つけるには、導関数をゼロに設定して方程式を解く必要があります。

関数 f(x) =2x 3 の停留点を見つけてみましょう。 + 3x 2 − 12x + 17

次の手順を実行します −

まず、関数を入力してそのグラフをプロットしましょう。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLAB はコードを実行し、次のプロットを返します −

上記の例と同等の Octave コードを次に示します −

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

私たちの目的は、グラフ上で局所的な最大値と最小値を見つけることなので、グラフ上の区間 [-2, 2] の局所的な最大値と最小値を見つけてみましょう。

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB はコードを実行し、次のプロットを返します −

上記の例と同等の Octave コードを次に示します −

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

次に導関数を計算しましょう

g = diff(y)

MATLAB はコードを実行し、次の結果を返します −

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

上記の計算に相当するオクターブは次のとおりです-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave はコードを実行し、次の結果を返します −

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

微分関数 g を解いて、ゼロになる値を求めましょう。

s = solve(g)

MATLAB はコードを実行し、次の結果を返します −

s =
   1
   -2

以下は、上記の計算に相当するオクターブです-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave はコードを実行し、次の結果を返します −

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

これは私たちの筋書きと一致しています。それでは、臨界点 x =1, -2 で関数 f を評価してみましょう。 subs を使用して、シンボリック関数の値を置き換えることができます コマンド。

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB はコードを実行し、次の結果を返します −

ans =
   10
ans =
   37

以下は、上記の計算に相当するオクターブです-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

したがって、関数 f(x) の最小値と最大値 =2x 3 + 3x 2 − 12x + 17、区間 [-2,2] は 10 と 37 です。

微分方程式を解く

MATLAB は dsolve を提供します。 微分方程式をシンボリックに解くためのコマンド。

dsolve の最も基本的な形式 単一の方程式の解を求めるコマンドは

dsolve('eqn') 

ここで eqn 方程式を入力するために使用されるテキスト文字列です。

これは、MATLAB が C1、C2 などのラベルを付ける一連の任意の定数をもつシンボリック ソリューションを返します。

問題の初期条件と境界条件を指定することもできます。式に続くコンマ区切りのリストとして、-

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)  

dsolve コマンドを使用する目的で、導関数は D で示されます .たとえば、f'(t) =-2*f + cost(t) のような式は −

と入力されます。

'Df =-2*f + cos(t)'

高次の導関数は、導関数の順序で D に続くことで示されます。

たとえば、式 f"(x) + 2f'(x) =5sin3x は −

として入力する必要があります。

'D2y + 2Dy =5*sin(3*x)'

一階微分方程式の簡単な例を取り上げましょう:y' =5y.

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB はコードを実行し、次の結果を返します −

s =
   C2*exp(5*t)

二階微分方程式の別の例を取り上げましょう:y" - y =0, y(0) =-1, y'(0) =2.

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB はコードを実行し、次の結果を返します −

ans =
   exp(t)/2 - (3*exp(-t))/2

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