分数階微分モデルを用いたスーパーキャパシタ蓄積エネルギーの精密推定

概要

本論文では、スーパーキャパシタ端子電圧測定のみを用いた蓄積エネルギー推定に関する新知見を提示します。この目的で、スーパーキャパシタ充放電回路の分数階モデル適用に基づく研究を行いました。モデルのパラメータ推定値を用いてスーパーキャパシタ蓄積エネルギー量を評価。得られた結果を、スーパーキャパシタ端子電圧と電流測定による実験的エネルギー決定値と比較。全テストを様々な入力信号形状とパラメータで繰り返しました。推定値と実験値の非常に高い整合性が、提案手法の適切性、ひいては分数階微積分学のスーパーキャパシタエネルギー貯蔵モデリングへの適用可能性を完全に確認しています。

背景

今日、スーパーキャパシタは多くのデバイス・システムの主要構成要素です：バックアップ電源、電力回生システム、自動車応用、ハイブリッド車など[1]。化学反応なしで電荷蓄積可能なため、典型的電池比で数百倍の充放電サイクル数を実現[2, 3]。また高速充放電率により、輸送や再生可能エネルギーにおけるエネルギー回生システムで効果的[2, 3]。これら全応用で鍵となるパラメータは、スーパーキャパシタ蓄積エネルギー量情報[4, 5]。しかし、典型コンデンサで知られる（1/2）_CU²関係は使用不可[6]。端子電圧のみから蓄積エネルギーを決定できません。主理由は、電荷再分配に伴う拡散プロセス[1, 7]。これが多くの研究者が実系挙動推定可能なスーパーキャパシタモデル決定を試みる理由です。現在、主に典型電子素子組み合わせ、_RC四極子やその直列/並列結合を採用。しかしこれら全モデルは、スーパーキャパシタ電流と端子電圧関係を典型的整数階微分方程式形式で仮定[3–5, 7]。

しかし分数階微積分学[8, 9]適用により、このような系でのエネルギー推定に全く新しい可能性が開けます。非整数階微分積分学は300年以上前に提案されましたが、重要な実装課題はコンピュータ登場と離散時間力学系モデリングへの活用に関連[10–14]。分数階微積分学のスーパーキャパシタパラメータ推定応用は新規課題ではなく、多くの文献[15–25]があります。著者らは周波数領域と時間領域双方でパラメータ推定タスク実施[26]。

本論文は著者らの会議発表[27]拡張版で、分数階アプローチによるスーパーキャパシタ蓄積エネルギー推定を簡潔に導入したものです。

スーパーキャパシタパラメータ精密推定は、信頼性評価にも極めて重要[28–31]。内部永続劣化プロセスが等価直列抵抗と容量を変化させるため、提案手法ベースのこれらパラメータ精密決定により、キャパシタ性能精密評価も可能。

本稿は分数階積分・微分に関する予備知識から始まり、テストで用いたパラメータ推定手法を提示、分数階微積分学ベースの新規エネルギー計算法を提案。結果と考察で様々なシナリオの計算エネルギーを提示し、基準（実測）値と比較。結論でまとめます。

手法

スーパーキャパシタの多孔質材料電極と特定電荷蓄積様式により、整数階微分モデルベースの伝統的アプローチでは十分な精度が得られません。多くの研究者が定数または可変値の典型_RC素子組み合わせで様々な解決策提案[4, 7]。しかし、非整数階微分積分学でスーパーキャパシタ電流と電圧関係を定義すると、明確に優れた精度が得られます[17, 19]。また、この解決策は非常にシンプルなモデル構造ながら高精度を実現可能[18]。

分数階微分積分学

分数階微分積分学は300年以上前から知られています。しかし、物理現象とプロセスモデリングでの普及は最近数年です。非整数階微分または積分による動力学記述が、特に新材料・新技術ベースの複雑現象・産業プロセス実在特性モデリングで最も効果的手法の一つになり得ると信じられています[10, 12, 13, 32–34]。

非整数階微分または積分学は、実数集合_Rに属する位数_αへの古典解析学一般化です。区間[_a,_t]における関数_f(_t)の位数_α ∈ _R微分積分演算子は以下のように記述：

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)= \left\{ {\begin{array}{l c l} {\frac{\mathrm{d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} & \text{for} & \alpha>0\\ f(t) & \text{for} & \alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} & \textrm {for} & \alpha<0,\\ \end{array}} \right. $$ (1)

_f(_t)が多回微分可能かつ積分可能と仮定。演算子(1)には多くの実現定義があり、特性と適用領域で異なります。最も普及しているのはRiemann–Liouville、Caputo、Grünwald–Letnikov（GL）定義[34]。本稿では後者を以下形式で使用：

$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) = {\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh), $$ (2)

二項係数_α choose _jは：

$$ {\alpha \choose j}= \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \textup {for} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-j+1)}{j!} & \text{for} & j>0. \end{array} \right. $$ (3)

離散時間モーメントでの分数階モデル取得のため、離散形式GL定義(4)を簡略化：

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) = \frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-j). $$ (4)

GL式(4)には複数離散化スキーム：後退差分（Euler）、台形（Tustin）、Al-Alaoui演算子。Euler法で、離散時間モーメント_kでの分数階微分は：

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots. $$ (5)

過去サンプル無限和は、メモリ制限と計算時間制限により実システムでは有限値に切り捨て。GL有限長離散時間近似：

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots, $$ (6)

_f(_l)=0（_l<0）、_Lはモデル(6)長[23]。サンプル数削減は計算精度低下。連続時間系では重要。他解として、分数階微分積分を整数階モデルで近似するアルゴリズム：Oustaloup再帰フィルタ[35]等。別効果的有限長モデルはFFLD、切り捨てモデル(6)とLaguerreベース差分組み合わせ[24, 36, 37]。

全同定結果とエネルギー測定は、観測ウィンドウ_L全サンプル（最大精度）ベースで取得。図1に、_k=0,1,…,_L、様々な積分/微分位数_αで、式(6)ベースの積分・微分ステップ応答を示す。異なる_α値採用で、特に拡散プロセス等、異なる物理プロセスをより精密にモデル化可能。

積分（a）と微分（b）モデルの様々な位数_αステップ応答

分数階モデルパラメータ推定

本稿提示の全エネルギー測定と同定手順結果は、制御電圧源から充電されるスーパーキャパシタで取得。この系では、スーパーキャパシタ電流_iC(_t)は、スーパーキャパシタ_Cと直列接続された抵抗_Rで制限（図2）。全スーパーキャパシタパラメータ推定は、入力電圧ステップ_u(_t)に対する四極子応答_uC(_t)ベースで実施。適切な微分位数_α選択で、充放電時の電荷再分配関連拡散現象に関わる物理現象をスーパーキャパシタモデルで考慮可能。並列抵抗_rPはリーク電流モデリングも可能。分数階微分積分学でスーパーキャパシタモデリングすると、モデル構造は低複雑性で済みます。電圧源充電スーパーキャパシタでは、シンプル_RC四極子（図2a）2素子のみ。小容量では直列抵抗_rSが重要（図2b）、リーク電流_ILは並列抵抗_rPで追加表現可能（図2c）。分数階微分積分学でスーパーキャパシタモデリングすると、端子電圧と電流関係は：

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, $$ (7)

スーパーキャパシタ_RCモデル：基本モデル（a）、直列抵抗拡張（b）、並列抵抗追加（c）

演算子d^_α/d_t^αは位数_α微分演算子、_Cα単位は[F/sec^1−_α]。図2a基本構成は一次慣性系として扱え、分数階伝達関数で表現：

$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, $$ (8)

_T=_RCα。直列抵抗_rS考慮（図2b）で、位相遅延補正系として伝達関数（[24]比較）：

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1}s^{\alpha}+1}, $$ (9)

_T1=_Cα(_R+_rS)、_T2=_rSCα。さらに並列抵抗_rPでリーク電流_IL表現（図2c）すると、系伝達関数：

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, $$ (10)

_K=_R/_rP+1、_T1=_C(_Rrs/_rP+_R+_rS)、_T2=_rSC。時間領域では式(10)を：

$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u(t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}. $$ (11)

式(11)定義モデル時間応答は、図3グラフィカル形式に変換して取得；積分・微分演算は位数_α分数階。このモデルをスーパーキャパシタパラメータ推定プロセスで使用。テストスーパーキャパシタは図4a系で同定。全系制御手順はMatlab/SimulinkとxPC Toolboxで開発。システムはデスクトップPC（xPC Target）、NI-DAQ測定カード搭載、マスターコンピュータ（xPC Host）。イーサネットで相互接続。スーパーキャパシタは（電圧制御）電圧源（図4b）で充放電、電流効率±3 Aまで。測定系は100 Hzサンプリング、全測定とアナログ制御信号を16-bit分解能で処理[25]。

時間領域スーパーキャパシタモデルMatlab構造

測定系構造（a）とスーパーキャパシタ充放電スキーム（b）

システム動的特性決定主手法はステップ応答解析[38]。系モデル関連でパラメータ推定可能。本研究では、様々電圧（0.5/1.0/1.5/2.0/2.7 V）、一定継続時間（500 s）ステップ信号使用（図5、表2参照）。一方、スーパーキャパシタ典型応用は電力システムへのエネルギー蓄積/供給。この場合電圧変化率は小さい。シミュレートのため、400 mVpp、0.03 rad/s、2 Vオフセット信号使用（図6）。さらに電圧と周波数変化が推定パラメータに与える影響検証のため、後者様々値使用（表3参照）。

テストスーパーキャパシタと分数階モデルステップ応答（a）とモデル応答誤差（b）

テストスーパーキャパシタと分数階モデル正弦波応答（a）とモデル応答誤差（b）

モデルパラメータ推定には複数手法。本研究適用時間領域同定手順主目的は、式(11)提示分数階モデル未知パラメータベクトル_θ=[_α,_Cα,_rS,_rP]推定。初期誤差最小化に最小二乗法使用。最適化基準は標準誤差_||ε(k)||²最小化、ここで：

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), $$ (12)

_uC(_k)はテスト系測定出力電圧、_\hat{u}C(_k)は入力信号_u(_k)に対する検討モデル出力電圧。同定問題は、平方基準_Jを以下のように最小化するパラメータベクトル_θ∈_Θad探索に帰着：

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J= \sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\}, $$ (13)

_Θadは許容パラメータ値集合、_Nはシミュレーション時間。問題(13)解法に多くの最適化アルゴリズム使用可能。本稿提示結果はMatlab環境で遺伝的アルゴリズム実装で取得。

エネルギー計算

スーパーキャパシタ蓄積エネルギー変化は、単位時間当たり供給電力に依存：

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. $$ (14)

キャパシタ端子電流と電圧積で供給電力表現すると、所与時刻_tエネルギー変化：

$$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (15)

区間[_t1,_t2]総エネルギーは、その区間エネルギー変化積分：

$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (16)

式(7)考慮で、総蓄積エネルギー決定可能：

$$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. $$ (17)

_t1=0、_Et1=0と仮定で、区間[0,_t]蓄積総エネルギー：

$$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau)}{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. $$ (18)

_α=1で式(18)古典式に還元：

$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. $$ (19)

結果と考察

最初に、分数階微分積分学用いたスーパーキャパシタモデルパラメータベクトル推定手順実施。推定は図2c系ベース、入力に電圧ステップまたは正弦波生成。モデル応答は式(11)ベースで計算。2つ同定手順結果は非常に類似、特に分数階容量_Cαと分数階位数_αで（表1参照）。直列抵抗_rS推定値に差異あり、周波数依存性起因の可能性。ステップ信号は多高調波含有、正弦波は0.03 rad/s単一。提示結果は市販Samwha Green-Cap EDLC（DB）、定格2.7 V、公称容量100 F、1 kHz最大等価直列抵抗（_rS）8 m_Ωで取得。

図5a、6aにステップ、正弦波信号それぞれで実測スーパーキャパシタ電圧と計算モデル応答、図5b、6bにモデル応答誤差。全結果で、比較的シンプルなモデル提案にもかかわらず、モデル応答と実測値の高い整合性。若干不一致は、モデルパラメータが電流源充放電系で推定されるべきこと起因の可能性[25]。また_rP非常に高い推定値は、図2cスーパーキャパシタモデルからこの抵抗除外可能示唆。これら極めて高い推定値と入力差異大は、このパラメータ推定用テスト信号が不適切であること示唆。モデル(10)を最一般形として使用。しかし全パラメータ精密決定には他手順とテスト信号必要。_rP値はリーク電流_IL特性付け、定電圧信号で極長時間（数十時間オーダー）で決定すべき。

主目的はエネルギー測定でしたが、様々励起条件が全パラメータ推定に大きく影響（表2参照）。例：電圧ステップ振幅増大で分数階積分位数が有意変化、スーパーキャパシタ内部拡散現象効果増大結果。表2からスーパーキャパシタがかなり非線形であることも判明。積分位数変化結果、分数階容量変動も観測。正弦波励起でも同様。推定パラメータ値—特に_αと_Cα—は振幅と周波数依存（表3参照）。低周波では振幅値重要、高周波では定電圧励起様に振る舞い。

エネルギー計算

図7a、8aに図4b構成で実測スーパーキャパシタ電圧と電流値示す。これらを式(16)でキャパシタ総蓄積エネルギー計算に使用（図7b、8bで_E1標記）。パラメータ同定同様、電圧ステップと正弦波両入力で計算実施。各時刻_t計算エネルギーを、電圧と容量ベース計算（式19、図7b、8b_E3標記）と分数階微分積分学計算（式18、図7b、8b_E2標記）と比較。式(19)には公称容量（_Cn）、式(18)には表1推定値使用。図7bに電圧ステップ測定・計算エネルギー、図8bに正弦波同量示す。異なる電圧ステップと正弦波励起でも類似計算実施。図9a、bに0.5 Vと2.7 V電圧ステップ例示。図10に0.03 rad/s正弦波、振幅0.1/0.25/0.5/0.7 Vでエネルギー変化示す。決定エネルギー値差異は、推定分数階位数_α差異に対応。_αが−1から離れるほど、計算エネルギー差異大。

スーパーキャパシタ電圧と電流ステップ応答（a）と計算エネルギー値（b）

スーパーキャパシタ電圧と電流正弦波応答（a）と計算エネルギー値（b）

0.5 V（a）と2.7 V（b）ステップ励起計算エネルギー量

0.03 rad/s正弦波励起、振幅0.1 V（a）、0.25 V（b）、0.5 V（c）、0.7 V（d）計算エネルギー量

考察

活性炭隔離極薄セパレータによる多孔質材料電極スーパーキャパシタ、いわゆる電気二重層電荷蓄積機構採用で、容量が飛躍的に増大。しかし新材料・新設計採用で、整数階微分・積分形伝統数学計算が不正確に。実測・計算でスーパーキャパシタ分数階本質実証。非整数階_α正確推定で、シンプル数学モデルながらスーパーキャパシタ内部現象・プロセス精密モデル化可能。

式(16)実在蓄積エネルギー値考慮で、公称パラメータ整数階モデル（19）はエネルギー量過小評価、分数階モデル（18）はほぼ同値示唆。

実施テスト・測定は電圧源充放電スーパーキャパシタ関連。産業条件では通常電流源充放電。系本質変化：キャパシタは慣性系でなく典型積分系に。しかし著者測定でも拡散プロセス発生指示。無論、Grünwald–Letnikov微分積分演算子有用性確認。別課題はGL微分積分演算子実装：有限/切り捨てGL差分(6)等、計算負荷大。今後Oustaloup[35]とFFLD[24, 36, 37]近似子比較で実装課題効率的解決目指す。

実測スーパーキャパシタ端子電圧のみ、モデル(19)使用エネルギー量計算は不適切。モデル(19)妥当条件はキャパシタ電流が端子電圧整数階微分で特徴づけられる場合（_iC(_t)=d_uC(_t)/d_t）。スーパーキャパシタは構造と特殊材料結果、これは真でない。同問題は電流源充電超大容量スーパーキャパシタ、超電池等新要素でも発生。全応用で、電流変化が端子電圧整数階微分で特徴づけられないのは、これら要素固有特性結果。

結論

本稿では、スーパーキャパシタ蓄積エネルギー量推定新アプローチを提示。分数階モデル特有特性活用で分析実施。このような高度モデリングが、モデル自体高複雑性でなくても、非常に精密な結果導くことを示しました。これは非整数階動力学が、スーパーキャパシタ電荷再分配と同様、拡散プロセスモデリング自然能力持つため。本稿結果がスーパーキャパシタ分数階本質確認。

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