グラフェンベースのトポロジカルプラズモン結晶における疑似スピン依存の一方向伝達

背景

フォトニックトポロジカルインシュレータ[1,2,3,4]は、内部での光の透過を禁止し、エッジに沿った伝搬を可能にする重要なトポロジカル相の光学材料であり、凝縮された量子ホール効果（QHE）の発見に続いて集中的に研究されてきました。案件。トポロジー物理学の重要な兆候は、構造上の欠陥や局所的な障害に対してロバストなエッジ状態の存在です。特に、バルクエッジ対応[5、6]を利用することにより、エッジ状態またはエッジトポロジカル不変量をプローブすることにより、さまざまなトポロジカルフェーズを調査できます。近年、トポロジカルエッジ状態は、ジャイロマグネティックフォトニック結晶[7,8,9]、バイ異方性ベースのフォトニックトポロジカル絶縁体[10、11]、結合導波路ネットワークなど、多くのフォトニックトポロジカルバンドギャップシステムで予測および観察されています。 [12、13]、およびFloquetフォトニック格子[14、15]。トポロジカル保護を提供するためにさまざまな物理的メカニズムが提案されています。特に、二重ディラックコーンを開いて、よく知られているハニカム格子フォトニック結晶のトポロジカルに重要なバンドギャップを取得しました。これにより、疑似時間反転対称性が維持され、エッジ状態の疑似スピン依存の一方向透過が発生します[16、17]。フォトニックシステムに加えて、フォノニックシステムの疑似スピン依存エッジ状態が調査されています[18、19、20]。ただし、プラズモンナノ構造の類似性はまだ報告されていません。これは、AuやAgなどの従来のプラズモン材料に沿って伝播するプラズモンの巨大なオーム損失によるものです。

表面プラズモンポラリトン（SPP）[21]は、光子と金属と誘電体の界面での自由電子振動によって結合された基本励起であり、回折の制限を回避し、デバイスの小型化を促進するための有望な物理メカニズムと見なされています。 。 Iurov etal。プラズモンモードの逆作用と混成軌道を調査し、グラフェンのディラック電子によって誘導される光偏光を発見しました[22]。 Memmi etal。 SPPと分子振動の間の強い結合を報告しました[23]。金や銀などの一般的に使用される貴金属は、主にスペクトルの可視および近赤外領域でプラズモニック特性を示しますが、グラフェンは、プラズモニクスの分野を赤外線およびテラヘルツ（THz）に拡張できる有望な代替品として最近浮上しました。波長。さらに重要なことに、貴金属とは対照的に、グラフェンプラズモンは静電バイアスを介して動的に調整でき[24、25]、これにより新世代の再構成可能なプラズモンデバイスが可能になります。さらに、高品質のグラフェンで励起されたSPPは、非常に長い固有の緩和時間に達し、前例のないレベルの電界閉じ込めを提供します[26]。これらの並外れた特性により、グラフェンはすべて統合されたトポロジカルプラズモン成分の理想的な候補になります。ごく最近、ジン等。周期的にパターン化された単層グラフェンでトポロジー的に保護された一方向エッジプラズモンを実現し、時間反転破壊磁場下でのグラフェンプラズモンのバンドトポロジーが詳細に研究されました[27]。そして、パン等。中程度の静磁場下で超格子接合部で実質的な非相反的挙動を示し、トポロジー的に保護されたエッジ状態と局所的なバルクモードの出現につながりました[28]。

この作業では、周期的に配置されたグラフェンナノディスクによって構築された2次元（2D）グラフェンプラズモン結晶（GPC）のトポロジー特性を理論的に調査します。ブリュアンゾーン（BZ）コーナーのディラックコーンは、ゾーン折りたたみメカニズムを利用して、BZ中央のダブルディラックコーンに折りたたまれています。トポロジカルバンドギャップを取得するために、ハニカム格子をさらに変形させます。グラフェンナノディスクを縮小または拡大することにより、ダブルディラックコーンが開き、疑似スピン双極子モードと四重極モードの間でバンド反転が発生します。これにより、非自明状態と自明状態の間のトポロジカル相転移がさらに発生します。さらに、エッジ状態の一方向の伝播は、自明なGPCと自明でないGPCによって構築されたインターフェイスに沿って数値的にシミュレートされます。これは、設計されたプラズモン結晶の疑似スピン特性とトポロジカルな堅牢性をさらに示しています。

メソッド

図1aに示すように、化学ポテンシャルの異なる同じシートのグラフェンに囲まれた、周期的に配置されたグラフェンナノディスクのアレイの2Dプラズモニック結晶におけるSPPのバンドトポロジーを調査します。格子定数 a =40 nm、μ _c1 、および r グラフェンナノディスクの化学ポテンシャルと半径です。 μ _c2 周囲のグラフェンの化学ポテンシャルを示します。境界条件を使用してマクスウェル方程式を解くことにより、空気とシリカに囲まれたグラフェン層でサポートされる横磁気（TM）偏光SPPモードの分散関係を取得します[29]：

a 2DGPCの概略図。 b ブリュアンゾーン。 c 緑の破線で示された菱形のプリミティブユニットセルに基づく格子のバンド構造。挿入図は、ディラック点の固有電界分布をプロットしています。 d 六角形のユニットセルに基づく格子のバンド構造。挿入図は、二重ディラック点の固有電界分布をプロットしています。その他のパラメータはμとして設定されます _c1 =0.3eV、μ _c2 =0.6eV、τ =1 ps、格子定数 a =40 nm

ここで、ε ₀ は自由空間の真空誘電率、 k ₀ =2π/ λ は自由空間の波数であり、λ は真空中での動作波長です。中赤外領域では、スーパーと基板に対応する空気とシリカの誘電率はεであると仮定されます。 _空気 =1およびε _SiO2 =それぞれ3.9 [30]。 βが遅延しないレジームで » k ₀ 、式。 （3）は[31]に簡略化できます。

ここで、β はグラフェン層の伝搬定数SPP、および実効屈折率 n _eff SPPモードの値は n から導出できます _eff =β / k ₀ 。 σ _g は、バンド内およびバンド間、つまりσの寄与で構成されるグラフェンの表面伝導率です。 _g =σ _イントラ + σ _inter [29、30]。バンド内導電率σ _イントラ バンド内電子-光子散乱プロセスに対応するものは、

ここでμ _c 電子密度に関連する化学ポテンシャル e は電子の電荷、ω プラズモンの角周波数、ℏ および k _B それぞれ、縮小プランク定数とボルツマン定数 T は温度、τ 電荷キャリア散乱による電子運動量緩和時間を表します。 ℏωの場合 » k _B T および| μ _c | » k _B T 、バンド間導電率σ _inter バンド間電子遷移に対応するものは、おおよそ次のように表すことができます

結果と考察

提案されたプラズモン結晶のエネルギーバンド構造は、有限要素法（FEM）ベースの市販のソフトウェアCOMSOLMultiphysicsを使用して取得されます。図1aでは、2つのグラフェンナノディスクの菱形ユニットセル（ベクトル a で定義された緑色の破線の菱形）の両方に注目しています。 _s1 および a _s2 ）および6つのグラフェンナノディスクの六角形ユニットセル（格子ベクトル a ₁ および a ₂ ）ハニカム格子プラズモン結晶を形成することができます。図1bは、M _II の既約ゾーンを持つ菱形および六角形のユニットセルのBZを示しています。 -Γ _II -K _II -M _II およびM _I -Γ _私 -K _I -M _I それぞれ。六角形のユニットセルは、菱形のプリミティブセルの3倍の大きさであることに注意してください。したがって、菱形のプリミティブユニットセルの最初のBZは、六角形のBZの3倍の大きさです（図1bの青い領域）。菱形のプリミティブユニットセルを使用すると、このプラズモン結晶はK _II でディラックコーン分散を示します。 およびK _II `図1cに示すように、BZコーナーのポイント。図1cの挿入図は、ディラック点での2つの縮退状態の固有電界分布を示しています。古典的なフォトニックおよび音響システムの疑似スピン[17、19、20]と同様に、プラズモンシステムの疑似スピンのアナログを模倣するには、自由度を2倍の状態に増やす必要があります。したがって、プラズモンバンド構造の4倍縮退したダブルディラックコーンが必要です。ゾーンフォールディングメカニズム[18]を採用することにより、K <sub>II</sub> のディラックコーン およびK <sub>II</sub> `ポイントはΓでダブルディラックコーンに折りたたまれます 大きい方の六角形のユニットセルを使用する場合は、BZの中心をポイントします（図1dに表示）。図1dの挿入図は、双極子モードと四重極モードの4重に縮退した固有状態を示しています。使用する相対パラメータはμです _c1 =0.3eV、μ _c2 =0.6 eV、およびτ =1ps。これは、実用的なグラフェンに関する以前の研究から適度に選択されています[32、33]。

2つの双極子モードと2つの四重極子モードで構成される4重に縮退したダブルディラックコーンは、C _6v の2つの2D既約表現に関連付けられています。 ポイントグループ、つまりE ₁ 奇数の空間パリティとE ₂ のモード 偶数の空間パリティのモード。量子力学で広く採用されている従来の表記法[34]に従って、これらのモードを p に分類できます。 _x / p _y および d _x2-y2 / d _xy 固有値に応じたモード E _z 図2に示すフィールド分布。次に、Γで重要なトポロジカルバンドギャップを開くために ポイント、さらに修正を加えます（つまり、 a のハニカム格子を変形します。 / R =3）対称性を破るために六角形のユニットセル上で。グラフェンナノディスクを a に縮小する場合 / R =3.2、図2aに示すように、4倍縮退したダブルディラックコーンは2つの2倍縮退状態に分割され、バルクバンドギャップは62.1から63.5THzに開きます。 E _z 低いバンドのフィールドには、 p を示す一対の双極子モードがあります。 _± 上部のバンドには d を示す1対の四重極モードがあります。 _± Γの周りの文字 これは、双極子モードが高次の四重極モードよりも低い周波数を示さなければならないという古典的なフォトニック理論と一致しています。ただし、グラフェンナノディスクを a に拡張すると、バンドの反転が発生します。 / R =2.9、つまり、双極子モードは四重極モードよりも高くなり、図2cに示すように、トポロジカルな非自明なバンドギャップが62.4から63.3THzになります。図2d、eは、 p 間のトポロジ遷移のプロセスを示しています。 _± および d _± 状態、および p に関連する面内磁場 _± および d _± 白い矢印でマークされています。 E の波動関数の角運動量 _z フィールド p _± =（ p _x ±i p _y ）/ \（\ sqrt {2} \）および d _± =（ d _x2-y2 ±i d _xy ）/ \（\ sqrt {2} \）は、現在のプラズモン結晶の疑似スピンをさらに構成します[17、18]。

a のGPCのバンド構造 a / R =3.2、 b a / R =3、および c a / R =2.9。 d 、 e E _z p の双極子モードと四重極モードの電界分布 _± および d _± a の状態 および c それぞれ。白い矢印は、 E に関連する面内磁場を表しています。 _z フィールド

図2a、cに示されているバンドギャップの位相的性質をさらに調査するために、それは一般に有効なハミルトニアンの記述とトポロジカル数に関連しています。 \（\ overset {\ rightharpoonup} {k} \ cdot \ overset {\ rightharpoonup} {p} \）摂動理論を適用することにより、効果的なハミルトニアン H _eff （ k ）Γの周り [ p に基づいてポイントする ₊ 、d ₊ 、p ₋ 、d ₋ ]は[17、35]と表すことができます。

ここで k _± = k _x ±i k _y 、および A 一次摂動項の非対角要素から来る\（{M} _ {\ alpha \ beta} =\ left \ langle {\ Gamma} _ {\ alpha} \ left | \ overset {\ rightharpoonup} {k } \ cdot \ overset {\ rightharpoonup} {p} \ right | {\ Gamma} _ {\ beta} \ right \ rangle \）with α =1、2およびβ =3、4。有効なハミルトニアン H _eff （ k ）は、CdTe / HgTe / CdTe量子井戸システムのBernevig-Hughes-Zhang（BHZ）モデル[36]と同様の形式を取り、バンド反転が発生したときのトポロジカルバンドギャップを意味します。式で表されるハミルトニアンに基づく。 （5）、トポロジカルプラズモン結晶のスピンチャーン数は[36]と評価できます。

ここで、 M =（ E _p – E _d ）/ 2は E 間の周波数差です ₂ および E ₁ Γでの表現 点。 B 2次摂動項の対角要素によって決定され、通常は負です[19]。したがって、 C _± =0は、図2aに示すように通常のバンド次数を持つ場合に得られます。そして、開かれたバンドギャップは取るに足らないものであると結論付けます。ただし、 M バンド反転が発生すると正になります。したがって、 C _± =±1は単純に得られ、図2cのギャップは重要です。

バンドギャップを異なるトポロジー（すなわち、トポロジー的トリビアルとトポロジー的非トリビアル）でオーバーラップさせることにより、2つのプラズモン結晶間の界面の周りに空間的に閉じ込められたエッジ状態を作成できます。ここでは、同じ周波数ウィンドウで2つのトポロジー的に自明なプラズモニック結晶（図2aに示されているバンド構造）によって2つのエッジが覆われているトポロジー的に自明でないプラズモニック結晶（図2cに示されているバンド構造）のリボンを検討します。 2つの些細な領域は、可能性のあるエッジ状態が自由空間に漏れるのを防ぎます。図3aに、Γに沿って計算された投影バンド構造を示します。 このようなリボンのK方向。ここで、バルクバンドギャップは、二重に縮退した赤い曲線で示されているように、追加のトポロジカルエッジ状態にまたがっています。図3bは、点A（ k ）に対応する2つの特徴的な結晶によって構築された界面の周りに閉じ込められた電界分布をプロットしたものです。 _x =−0.05π / a ）およびB（ kx =0.05π/ a ）図3aにマークされています。疑似スピンアップとスピンダウンの特性は、図3bの右側のパネルに示されているように、反時計回りと時計回りの位相渦によって証明されます。

a 両側の12個の自明なユニットセルで覆われた16個の自明でないユニットセルで構成されるスーパーセルの投影バンド構造。 b 点AとB、つまり k での、自明なプラズモン結晶と自明でないプラズモン結晶の間の界面周辺の電界分布 _x =−0.05π / aと0.05π/ aそれぞれ

エッジ状態の疑似スピン依存の一方向伝達も、有限の20 a で示されます。 ×18 a 自明な結晶と自明でない結晶によって構築された格子。図4a、bに示すように、疑似スピンアップ（スピンダウン）ソース S によって励起された場合の、左（右）方向へのSPP波の一方向伝搬 ₊ （ S ₋ ）面内磁場の反時計回り（時計回り）の円偏波。トポロジカルエッジ状態の最も際立った特徴の1つは、摂動/欠陥に対してロバストであることです。このロバスト性を検証するために、図4cに示すように鋭い曲がりを構築します。ここでは、SPP波の一方向の送信が疑似スピンダウンソース S によって励起されます。 ₋ 。 SPP波は、グラフェン材料の固有の損失のために、鋭い曲がりに沿った長い移動距離の後に最終的に消えました。このトポロジー伝達をさらに確認するために、比較のためにグラフェンの固有損失を無視することにより、電界強度分布も示します。図4dからわかるように、SPP波は設計されたルートをたどり、後方散乱をほとんど伴わずに一方向の伝搬を維持します。

a 左向きと b π/ 2位相差のある面内磁場によって励起された右方向の一方向エッジ状態：\（{S} _ {\ pm} ={H} _0 \ left（\ overset {\ rightharpoonup} {x} \ mp i \ overset {\ rightharpoonup} {y} \ right）\）。 c トポロジカルエッジ状態は、鋭い曲がりに沿って移動します。 d グラフェン材料の固有損失を考慮しないトポロジカル一方向伝送の電界強度分布

結論

要約すると、周期的にパターン化されたグラフェンナノディスクによって構築されたGPCのバンドトポロジを体系的に調査しました。ゾーンフォールディングメカニズムを採用することにより、BZコーナーのディラックコーンはBZセンターのダブルディラックコーンに折りたたまれます。さらに、トポロジカルバンドギャップは、ハニカム格子GPCを変形させることによって実現されます。 \（\ overset {\ rightharpoonup} {k} \ cdot \ overset {\ rightharpoonup} {p} \）摂動論によって導出された有効なハミルトニアンに基づいて、スピンチャーン数が評価されます。反時計回りと時計回りの位相渦によって証明される疑似スピン特性は、2つのトポロジカルなトリビアルおよび非トリビアルプラズモン結晶によって構築された界面に沿ったエッジ状態の一方向伝達を実現するためにうまく使用されます。設計されたGPCは、トポロジー現象を研究するための新しいパスを提供し、トポロジープラズモニクスの分野で潜在的なアプリケーションを見つける可能性があります。それはまた、疑似スピンプラズモニクスの探求と高密度ナノフォトニック集積回路における疑似スピン多重化の技術を引き起こすかもしれません。

略語

BHZ：

Bernevig-Hughes-Zhang

BZ：

ブリュアンゾーン

FEM：

有限要素法

GPC：

グラフェンプラズモン結晶

QHE：

量子ホール効果

QSHE：

量子スピンホール効果

SPP：

表面プラズモンポラリトン