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ゲートの普遍性:NANDまたはNORゲートのみで任意の論理関数を実現

NANDゲートとNORゲートは、それ自体を十分な数組み合わせることで、他のあらゆる論理演算を実装できる唯一の標準論理ファミリです。この普遍的特性は、これらのゲートタイプのいずれかのみに依存する多くのデジタル制御システムの基盤となっています。

例えば、単純なOR機能はNANDゲート3つだけで構築でき、NORゲートでも同様です。以下のセクションでは、NOT、AND、OR、NAND、NORのすべての基本ゲートを、NANDのみ、またはNORのみを使用して構築する方法を示します。

NOT機能の構築

NANDゲートとNORゲートの両方がインバータとして機能します。TTLデバイスで最も実用的なアプローチは、NANDゲートの未使用入力を電源レール(+V)に接続し、NORゲートでは未使用入力をグラウンドに接続することです。この方法は、駆動側ゲートへの電流負荷(TTL)を最小化し、入力容量(CMOS)を低減します。代替案の——2入力を接続する——は論理的には機能しますが、ハードウェアの観点からは効率的ではありません。

ゲートの普遍性:NANDまたはNORゲートのみで任意の論理関数を実現

「バッファ」機能の構築

バッファは、2段のインバータをカスケード接続することで実現できます。出力は入力を正確に反映し、反転なしで論理レベルを保持します。

ゲートの普遍性:NANDまたはNORゲートのみで任意の論理関数を実現

AND機能の構築

NANDゲートからANDを得るには、NAND出力にインバータを追加するだけです。これによりNAND固有のNOT演算が取り除かれます。NORゲートでは、すべての入力を反転させてからNORに入力することで同じAND振る舞いが得られます。

ゲートの普遍性:NANDまたはNORゲートのみで任意の論理関数を実現

NAND機能の構築

NANDゲートはそのまま利用可能で、追加回路は不要。NORゲートでNANDをエミュレートするには、NORゲートのすべての入力と出力を反転させます。2入力NORの場合、これには3つの追加NORインバータが必要です。

ゲートの普遍性:NANDまたはNORゲートのみで任意の論理関数を実現

OR機能の構築

NORゲートの出力を反転させるとOR機能が得られます。逆に、NANDゲートはすべての入力を反転させることでORをエミュレートできます。この相互関係は、ブール代数の基本であるド・モルガンの定理の直接的な適用です。

ゲートの普遍性:NANDまたはNORゲートのみで任意の論理関数を実現

NOR機能の構築

NANDゲートをNORとして使用するには、そのすべての入力と出力を反転させます。これはNORでNANDをエミュレートするプロセスを鏡像的に反映しています。

ゲートの普遍性:NANDまたはNORゲートのみで任意の論理関数を実現

復習:

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