ベン図の理解：集合関係の可視化

数学者はベン図を用いて、集合（オブジェクトの集まり）同士の論理的関係を示します。代数や他の数学の学習でベン図を見たことがあるかもしれません。重なり合う円と、集合の和集合と積集合を覚えているでしょう。

ベン図の重なり合う円を復習します。デジタルエレクトロニクスで用いられる用語に合わせ、和集合と積集合の代わりにORとANDという用語を採用します。

ベン図は、前章のブール代数からカルノー図への橋渡しをします。ブール代数で既に知っていることをベン図に関連付け、それからカルノー図へ移行します。

集合は、宇宙から選ばれたオブジェクトの集まりです。集合の要素は集合に含まれるオブジェクトです。集合の要素は通常何か共通点を持ちますが、これは必須ではありません。

例えば、実数の宇宙から、すべての正の整数 {1,2,3…} は集合です。{3,4,5} は、すべての正の整数の集合のより小さな集合、つまり部分集合の例です。別の例は、大学生の宇宙からすべての男性の集合です。他にどんな集合の例が考えられますか？

左上は、宇宙U（長方形領域）内の円として集合Aを示すベン図です。円内のすべてがAなら、円の外側の長方形領域は非Aです。したがって、中央上では円の外側の長方形領域をUではなくA-not（A否定）とラベル付けします。BとB-notも同様に示します。

AとBが同じ宇宙内にある場合、4つの可能性があります。

上記に示した4つの可能性を詳しく見てみましょう。

最初の例では、集合Aと集合Bはベン図によると共通部分を持ちません。AとBの円形斜線領域に重なりはありません。例えば、集合AとBが以下の要素を持つとします：

集合A = {1,2,3,4}
集合B = {5,6,7,8}

Aの要素のどれもBに含まれず、Bの要素もAに含まれません。したがって、円の重なりはありません。

上記ベン図の2番目の例では、集合Aが完全に集合B内に含まれています。この状況をどう説明できるか？ 集合AとBが以下の要素を持つとします：

集合A = {1,2}
集合B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

集合Aのすべての要素は集合Bの要素でもあります。したがって、集合Aは集合Bの部分集合です。集合Aのすべての要素が集合Bの要素であるため、集合Aは集合Bの境界内に完全に描かれます。

4つの例には示されていない第5のケースがあります。ヒント：最後（4番目）の例に似ています。この第5ケースのベン図を描いてみてください。

上記の3番目の例は、集合Aと集合Bが完全に重なっています。両集合が同一の要素を持つように見えます。集合AとBが以下を持つとします：

集合A = {1,2,3,4}
集合B = {1,2,3,4}

したがって、

集合A = 集合B

集合AとBは、同一の要素を持つため同一です。対応するベン図のAとB領域は完全に重なります。上記パターンが何を表すか疑問があれば、上下の図を参照して、重なる前の円領域がどう見えたか確認してください。

上記の4番目の例では、集合Aと集合Bの間に共通部分があり、重なり領域に現れます。例として、以下の集合を任意に選びます：

集合A = {1,2,3,4}
集合B = {3,4,5,6}

集合Aと集合Bは、要素3と4を共通に持ちます。これらの要素が、AとBの中心に共通する重なりの理由です。この状況をより詳しく見ていきます。