複素インピーダンスによる直列並列RC・RL回路の解析

直列と並列のAC回路解析がDC回路解析と本質的に変わらないことを理解すれば、直列並列解析も同様であることは驚くべきことではありません。ただ、電圧、電流、インピーダンスをスカラではなく複素数で表すだけです。次の直列並列回路を例に取ります：

 

直列並列R、L、C回路の例。

 

いつものように最初の仕事は、AC電源の周波数に基づいて全コンポーネントのインピーダンス（Z）を求めることです。これには、まずすべてのインダクタとコンデンサのリアクタンス（X）を求め、リアクタンス（X）と抵抗（R）を適切なインピーダンス（Z）形式に変換する必要があります：

 

 

 

これでテーブルに初期値を設定できます：

 

 

直列並列組み合わせ回路なので、総インピーダンスへの還元は複数ステップで行います。最初のステップは、LとC₂をインピーダンスの直列結合としてまとめ、それらのインピーダンスを加算します。

次に、そのインピーダンスを抵抗器のインピーダンスと並列結合し、さらに別のインピーダンスの組み合わせを得ます。最後に、その量をC₁のインピーダンスに加えて総インピーダンスを求めます。

テーブルがこれらすべてのステップを追えるようにするには、追加の列が必要です。横に列を追加するとフォーマットの都合上不都合なので、各列をそれぞれの素子結合で指定した新しい行を下に配置します：

 

 

これらの新しい（結合）インピーダンスの計算には、直列結合には複素数加算、並列複素インピーダンスには「逆数」公式が必要です。今回は逆数公式を避けられません！

 

 

第2テーブルに「Total」列があるので、第1テーブルのその列は削除できます。これで4列のテーブルと3列のテーブルが1つずつできます。

総インピーダンス（818.34 Ω ∠ -58.371°）と総電圧（120 V ∠ 0°）がわかったので、オームの法則（I=E/Z）を「Total」列で垂直に適用して総電流を求めます：

 

 

ここで、総電圧または総電流を共有する素子や素子結合があるか自問します。この場合、C₁と並列結合R//(L–C₂)の両方が同じ（総）電流を共有します。総インピーダンスがこの2組のインピーダンスの直列で構成されるからです。

したがって、総電流の値を両列に転記できます：

 

 

 

オームの法則（E=IZ）をそれらの列で垂直に適用して、C₁と直列並列結合R//(L–C₂)の電圧降下を計算します：

 

 

 

この時点で、C₁とR//(L–C₂)の電圧降下が総電圧と一致するか、キルヒホッフの電圧法則に従って確認します：

 

 

このステップは単なる予防策ですが、ステップの多い問題ではエラーを早期発見でき、多くの手間とフラストレーションを防げます。

C₁とR//(L–C₂)の電圧降下を解いたら、再び同じ電圧や電流を共有する他の素子はないか自問します。

この場合、抵抗器（R）とインダクタ・第2コンデンサの結合（L–C₂）が同じ電圧を共有します。これらのインピーダンスセットが互いに並列だからです。したがって、先ほど解いた電圧値をRとL–C₂の列に転記します：

 

 

 

抵抗器と直列結合L–C₂の電流を計算する準備が整いました。オームの法則（I=E/Z）を両列で垂直に適用するだけです：

 

 

 

L–C₂とRの電流が総電流と一致するか、キルヒホッフの電流法則で確認します：

 

 

LとC₂は直列接続され、それらの直列結合インピーダンスを流れる電流がわかっているので、直列回路のルール（直列素子は同じ電流を共有）に従って、その電流値をLとC₂の列に分配します：

 

 

最後のステップ（実際には2つの計算）で解析テーブルを完成させます。LとC₂のインピーダンスと電流がわかっているので、オームの法則（E=IZ）をそれら2列で垂直に適用して電圧降下を計算します：

 

 

SPICEで計算機検証を行いましょう：

 

直列並列R、L、C SPICE回路。

 

 ac series-parallel r-l-c circuit 
 v1 1 0 ac 120 sin 
 vit 1 2 ac 0 
 vilc 3 4 ac 0 
 vir 3 6 ac 0 
 c1 2 3 4.7u 
 l 4 5 650m 
 c2 5 0 1.5u 
 r 6 0 470 
 .ac lin 1 60 60 
 .print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) 
 .print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) 
 .print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc) 
 .print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir) 
 .end

 freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1 
6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01

 freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L
6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02

 freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2
6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02

 freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R
6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01

 

SPICE出力の各行は、C₁、L、C₂、Rの順で、電圧、電圧位相角、電流、電流位相角を示します。ご覧の通り、これらの数値は手計算の回路解析テーブルの数値と一致します。

直列並列AC回路解析は一見困難に見えますが、複素数を使う以外に新しいことは何もありません。オームの法則（E=IZの新形式）は依然として成り立ち、キルヒホッフの電圧則と電流則も同様です。

必要な複素数計算を実行する際の人的エラーの可能性は高まりますが、直列並列回路還元の基本原理と技術は全く同じです。

 

復習：

• 直列並列AC回路の解析は、直列並列DC回路とほぼ同じ。実質的な違いは、すべての数値と計算がスカラではなく複素（ベクトル）形式であることだけ。
• 直列並列還元（簡略化）を始める前に、すべての抵抗器、インダクタ、コンデンサのインピーダンス（Z）を決定しなければならない。そうすれば、すべての素子値が共通の用語（Z）で表され、抵抗（R）、インダクタンス（L）、キャパシタンス（C）の互換性のない混在を避けられる。

関連ワークシート：

• 直列並列AC回路ワークシート