伝送線路における定在波と共振の理解

伝送線路と負荷の間にインピーダンスミスマッチが発生すると、反射波が生じます。連続交流電源の場合、入射波と反射波が干渉して、定在波として知られる定常パターンを形成します。

下図では、三角形の入射波形がラインの未終端端で反射し、鏡像反射を生成します。伝送線路は単一の太線で描かれています。

入射波は左から右へ、反射波は右から左へ伝播します（下図参照）。

 

入射波が未終端伝送線路の端で反射

 

2つの波形を加算すると、ライン長に沿って第3の定常波形が生成されることがわかります（下図参照）。

 

入射波と反射波の和は定常波

 

この定常波、「定在波」はラインに沿った正味電圧を表します。大きさは振動しますが、入射波や反射波のようにケーブルに沿って伝播しません。

定在波の「ゼロ」ポイントを示すドットに注目してください。ここでは入射波と反射波が相殺し合います。これらのポイントは決して移動しません（下図参照）。

 

定在波は伝送線路に沿って伝播しない

 

定在波が生成されるケース

定在波は多くの物理システムで現れます。例えば、一方の端を振動させ、もう一方を固定した弦やロープは、弦に沿って固定された節（最小運動点）と腹（最大運動点）を持つ定在波パターンを生成します。この効果は、駆動周波数が弦の固有周波数の1つと一致するとき最も顕著です。

弾いた弦も同様の定在波振る舞いを示しますが、弾くことで弦自身の共振周波数が励起され、最大の建設的干渉が確実になります。

開放端管を風が吹き抜けることでも定在音波が生成されます。管の端に節または腹が現れるかは、端が開放（腹）か閉鎖（節）かによります。

これらすべてのシステムで、定在波パターンは端の境界条件によって決まります。

共振周波数の高調波進行

あらゆる定在波システムで、複数の共振周波数が存在します。それぞれが基本（最低）周波数の整数倍に対応します。これらの高い周波数を高調波またはオーバートーンと呼びます。

開放端管では、第1高調波は管長に波長の1/4が収まるときに発生し、次の高調波は1/2、3/4、と続きます。正確な周波数は管の物理長と媒質中の音速に依存します。

開放端管の高調波（オーバートーン）

SPICEによる伝送線路共振のシミュレーション

伝送線路は定在波を支持し、これらの波は終端インピーダンスによって制約されます。終端がラインの特性インピーダンスと一致しない場合、ラインの長さと信号の伝播速度によって決まる周波数で共振が発生します。

例として、完全マッチングされたシステムを考えます：電源、75Ω伝送線路、75Ω負荷。以下のSPICEネットリストがこのシナリオをモデル化します。

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u
rload 3 0 75
.ac lin 101 1m 1meg
* Using "Nutmeg" program to plot analysis
.end

このモデルでは、ラインの特性インピーダンスは75Ω、伝播遅延は1μsで、速度係数0.66の同軸ケーブルでは約648フィートの物理長に相当します。

シミュレーションを実行し、電源電圧、ライン電源側電圧、負荷電圧をプロットすると、電源電圧が1Vのまま他のノードが0.5Vに留まります。ラインが完全マッチングされているため共振は現れません。

マッチング伝送線路では共振なし

負荷を開放回路（≈999MΩ）に変更すると、反射は避けられず、1mHz〜1MHzの周波数スイープで共振ピークが現れます。

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u
rload 3 0 999meg
.ac lin 101 1m 1meg
* Using "Nutmeg" program to plot analysis
.end

開放端伝送線路

解析により5つの主要周波数が明らかになります：0Hz、250kHz、500kHz、750kHz、1MHz。これらの各点で、ラインに沿った電圧と電流の分布が予測可能な方法で変化し、定在波パターンを反映します。

例えば250kHzでは、ライン長が波長の1/4に等しくなります。負荷端は電圧腹（最大電圧）と電流節（零電流）になります。したがって、負荷が物理的に開放でも、電源は開放回路を見ます。

250kHz：電源は開放回路を見る

500kHzでは、ラインに半波長定在パターンが宿り、電源側が再び電圧腹・電流節になります。

ライン上の半波長定在波

負荷が短絡（≈1μΩ）の場合、電圧と電流の節/腹の役割が入れ替わり：短絡端は電圧節と電流腹になります。

Transmission line
v1 1 0 ac 1 sin
rsource 1 2 75
t1 2 0 3 0 z0=75 td=1u
rload 3 0 1u
.ac lin 101 1m 1meg
* Using "Nutmeg" program to plot analysis
.end

短絡伝送線路

部分的にマッチングされた負荷（例：75Ωラインに100Ω）でも定在波は持続しますが、ピークと谷の振幅は減少します。このミスマッチの定在波比（SWR）は1.333で、大きい方のインピーダンスを小さい方で割った比として計算されます。

ミスマッチ伝送線路上の弱い共振

これらすべての例で、ライン端での反射波は入射波の100%ですが、周波数に応じてラインに沿った電圧・電流振幅が変化します。

定在波比（SWR）

SWRは定在波の深刻度を定量化します。ラインに沿った電圧または電流の最大振幅（腹）と最小振幅（節）の比として定義されます。

開放または短絡ラインでは、最小振幅がゼロのためSWRは無限大です。完全マッチングラインでは、電圧と電流がラインに沿って一様なためSWRは1です。

高いSWR値は非効率な電力伝達を示すだけでなく、ラインの絶縁体と導体にストレスを与え、破壊や過熱の原因となる可能性があります。逆に、アンテナは意図的に高SWRで動作させて放射を最大化します。

実用的意義

RFシステムでは、エンジニアは最大電力伝達と意図しない放射の最小化のために低SWRを目指します。しかし、インピーダンスマッチングトランスや特定のアンテナ設計など、定在波を利用して所望の性能を達成する用途もあります。

復習

• 定在波は、伝送線路上の入射波と反射波の干渉によって形成される定常的な電圧・電流パターンです。
• 節は最小振幅点、腹は最大振幅点です。
• 定在波は、ラインの終端インピーダンスが特性インピーダンスと一致しないときのみ生じます。
• 共振は、ライン長が1/4波長またはその整数倍に対応するときに発生します。
• 高調波は基本共振周波数の整数倍です。
• 定在波比（SWR）は最大振幅と最小振幅の比で、ZloadとZ0の大きい方を小さい方で割った値に等しい。マッチングラインではSWR=1。
• 過度な定在波振幅は、絶縁体への過電圧や導体の過熱により伝送線路を損傷する可能性があります。