回路解析における補償定理：証明、説明、実践例

回路解析における補償定理の証明、説明、実験、解例

補償定理

ネットワーク理論において、ある分岐のインピーダンス変化がネットワークや回路の対応する電圧・電流に与える影響を知ることは重要です。補償定理は、このようなネットワークの変化に関する情報を提供します。

補償定理はオームの法則の基本概念に基づいています。オームの法則によれば、電流が抵抗を流れるとき、その抵抗の両端に電圧降下が生じます。この電圧降下は電源電圧を妨げる方向に働きます。

したがって、電源電圧と逆極性で、大きさが電圧降下に等しい追加の電圧源を接続します。補償定理はこの概念に基づいています。

補償定理は次のように述べられます：

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補償定理の説明

補償定理を理解するため、下図を考えます。

この図では、電圧源Vは独立電圧源、インピーダンスZ₁とZ₂は線形または双方向素子です。したがって、このネットワークに補償定理を適用できます。ループを流れる電流をIとします。

ここで、インピーダンスZ₂がΔZだけ増加したと仮定します。この変化により、ループ電流は変化し、新しい電流をI'とします。変更後の回路図は下図のようになります。

インピーダンス変化による電流変化をΔIとすると、

ΔI = I - I'

補償定理の記述によれば、ΔIを直接計算できます。そのためには回路を修正します。

第一の修正：インピーダンスが変化した分岐に、値IΔZの電圧源を接続します。この電圧源の極性はメイン電源と逆です。新たに追加されるこの電圧源V_Cを補償電源と呼びます。

V_C = I ΔZ

第二の修正：古い電圧源をその内部インピーダンスで置き換えて除去します。理想電圧源とみなせば、その端子を短絡することで除去できます。これらの修正後の残りの回路は下図のようになります。

この回路を解くことで、インピーダンス変化後の電流変化ΔIを容易に求められます。

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補償定理の証明

図1の回路を考え、ループを流れる電流Iを計算します。

図1にキルヒホッフの電圧則（KVL）を適用：

インピーダンスZ₂がΔZだけ変化し、図2のような修正回路になったとします。図2でのループ電流I'を計算します。

図2にKVLを適用：

インピーダンス変化によるループ電流変化をΔIとすると、ΔIは古い電流Iと新しい電流I'の差です。

ΔI = I - I'

次に下図を考えます。

この図は補償定理を実装した後の回路を表します。元の電圧源は短絡により除去されています（理想電圧源と仮定）。

このループを流れる電流I''を求め、上記で計算したΔIと比較します。

ループ電流を求めるため、上図にKVLを適用：

V_C = Z₁ I'' + (Z₂ + ΔZ) I''

V_C = I'' (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = V_C / (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = ΔI

したがって、修正後の電流変化（ΔI）が補償定理で計算された電流と同じであることが証明されました。補償定理の記述が証明されたことになります。

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補償定理の実験

目的: 補償定理を証明し、電流変化を求める。

器具: 電圧計、電流計、抵抗器、接続線、ブレッドボード

回路図:

手順:

ステップ1: 図5のようにブレッドボード上に部品を接続します。

ステップ2: 電流Iを測定します。

ステップ3: 図6のように部品を接続します。ここで追加の抵抗器を接続します。

ステップ4: 電流I₁を測定します。

ステップ5: IとI₁の値から電流変化（ΔI）を計算します。

ステップ6: 図7のように部品を接続します。これが補償回路です。

ステップ7: 電流I''を測定します。

ステップ8: 電流変化（ΔI）とI''を比較します。

実験結果表：

No.	I	I1	ΔI	I''
1

結果:

電流I''の値とΔIを比較することで、補償定理を証明できます。

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補償定理の解例

例題1

• 1) 抵抗が3Ωのとき、分岐ABを流れる電流を求めよ。
• 2) 3Ωの抵抗が9Ωに変更されたとき、補償定理を用いて分岐ABの電流を求めよ。
• 3) 補償定理を証明せよ。

解答1

図に示す通り、6Ωと3Ωの抵抗器が並列接続され、この並列合成が3Ωの抵抗器と直列接続されています。したがって合成抵抗は：

R_Eq = 6 || 3 + 3

 

 

R_Eq = 2 + 3

R_Eq = 5 Ω

オームの法則により：

10 = I (5)

I = 10 ÷ 5

I = 2 A

分岐ABを流れる電流を求めるため、分流則を適用：

I' = 1.333 A (または 3/4 A)

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解答2

3Ω抵抗器を9Ωに置き換えます。補償定理により、9Ω抵抗器と直列に新しい電圧源を追加します。この電圧源の値は：

V_C = I' ΔZ

ここで、

ΔZ = 9 - 3 = 6 Ω、I' = 4/3 A (または 1.333 A)

V_C = (4/3 A) × 6 Ω

V_C = 8 V

修正後の回路図（補償回路）は下図の通りです。

合成抵抗を求めます。ここでは3Ωと6Ωが並列接続され、この並列合成が9Ωと直列接続されています。

R_Eq = 3 || 6 + 9

R_Eq = 2 + 9

R_Eq = 11 Ω

オームの法則により：

V = ΔI R

8 = ΔI (11 Ω)

ΔI = 8 ÷ 11

ΔI = 0.7272 A

したがって、補償定理によれば電流変化は0.7272Aとなります。

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解答3

補償定理を証明するため、9Ω抵抗器を接続した元の回路で電流を計算します。

修正後の回路図は下図の通りです。

ここでは9Ωと6Ωが並列接続され、この並列合成が3Ωと直列接続されています。

合成抵抗は：

R_Eq = 9 || 6 + 3

R_Eq = 99 ÷ 15

R_Eq = 6.66 Ω

上図より：

10 = I (6.66)

I = 10 ÷ 6.66

I = 1.5151 A

分流則により：

I'' = 0.6060 A

ΔI = I' - I''

ΔI = (4/3 A) - 0.6060

ΔI = 1.333 A - 0.6060

ΔI = 0.7273 A

したがって、補償定理で計算した電流変化と、元の回路で計算した電流変化が一致することが証明されました。

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例題2

下図の回路において、3Ω抵抗器を7Ωに置き換えたときの電流変化を補償定理で求め、補償定理を証明せよ。

このネットワークは抵抗器と独立電流源のみで構成されるため、補償定理が適用可能です。

この図では、ネットワークが電流源で給電されています。3Ω抵抗器分岐を流れる電流を求めます。これはキルヒホッフの法則（KCLまたはKVL）で求められますが、ここでは分流則で容易に求められます。

分流則により：

I = 70 ÷ 10 A

I = 7 A

元のネットワーク（3Ω）では、その分岐を流れる電流は3Aです。この抵抗器を3Ωから7Ωに変更すると、その分岐電流が変化します。この電流変化を補償定理で求めます。

補償ネットワークを作るには、ネットワーク内のすべての独立電源を除去します。電圧源は短絡、電流源は開放します。

このネットワークには電流源が1つだけあります。理想電流源とみなすため、内部抵抗を追加する必要はありません。

補償回路での第二の修正は、追加電圧源を接続することです。この電圧値は：

V_C = I ΔZ

V_C = 7 × (7 - 3)

V_C = 7 × 4

V_C = 28 V

補償ネットワークは下図の通りです。

この図には単一のループしかありません。7Ω分岐を流れる電流が電流変化（ΔI）を与えます。

ΔI = V_C ÷ (7+7)

ΔI = 28 ÷ 14

ΔI = 2 A

補償定理を証明するため、7Ω抵抗器を接続した回路での電流を求めます。修正後の回路図は下図の通りです。

I'' = (10 (7)) ÷ (7 + 7)

I'' = 70 ÷ 14

I'' = 5 A

分流則を適用：

電流変化を求めるため、この電流を元のネットワークの電流から引きます。

ΔI = I - I''

ΔI = 7 - 5

ΔI = 2 A

したがって、補償定理が証明されました。

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