電流分割則（CDR）完全マスター：AC/DC並列回路のエキスパート解法

抵抗性・誘導性・容量性回路における電流分割則「CDR」

電流分割則（CDR）とは？

複数の素子が並列接続されているとき、電流は複数の並列経路に分割されます。そして、すべての素子の電圧は同じで、電源電圧と等しくなります。

言い換えると、電流が複数の並列経路を流れるとき（直列回路の電圧計算には電圧分割則「VDR」を使用）、電流は各経路に分割されます。特定の分岐を流れる電流値は、その分岐のインピーダンスに依存します。

電流分割則（電流分配則）は、回路を解くために広く使用される最も重要な公式です。各分岐のインピーダンスと総電流がわかっていれば、各分岐を流れる電流を求められます。

電流は常にインピーダンスが最小の経路を流れます。したがって、電流はインピーダンスと逆の関係にあります。オームの法則によれば、ノードに流入する電流は、インピーダンスに逆比例して分割されます。

これは、インピーダンスが小さい分岐ほど大きな電流が流れ（電流は最小抵抗経路を選ぶ）、インピーダンスが大きい分岐ほど電流が小さくなることを意味します。

回路素子に応じて、電流分割則は抵抗、インダクタ、キャパシタについて記述できます。

抵抗性回路の電流分割則

抵抗性電流分割則を理解するため、抵抗が並列接続された回路を考えます。回路図は以下の通りです。

この例では、DC電源がすべての抵抗に供給されています。抵抗の電圧は電源電圧と同じです。しかし、並列接続により電流は異なる経路に分割されます。電流は各ノードで分割され、その値は抵抗に依存します。

電流分割則を用いて、各抵抗を流れる電流値を直接求められます。

この例では、電源から供給される主電流はIです。これが2つの抵抗R₁とR₂に分割されます。抵抗R₁を流れる電流はI₁、R₂を流れる電流はI₂です。

抵抗が並列接続されているため、等価抵抗はR_eqです。

オームの法則により：

V = I R_eq

両抵抗はDC電源と並列接続されているため、抵抗の電圧は電源電圧と同じです。抵抗R₁を流れる電流はI₁です。

したがって、抵抗R₁について：

同様に、抵抗R₂について：

これらの式は、並列接続された抵抗の電流分割則を示しています。これらから、抵抗を流れる電流は、総電流と対側抵抗の積を総抵抗で割った比に等しいことがわかります。

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誘導性回路の電流分割則

インダクタが並列接続されているとき、電流分割則を適用して各インダクタを流れる電流を求められます。電流分割則を理解するため、インダクタが並列接続された回路を考えます（下図参照）。

ここでは、2つのインダクタ（L₁、L₂）が電源電圧Vと並列接続されています。電源を流れる総電流はIアンペア。インダクタL₁を流れる電流はI₁、L₂を流れる電流はI₂です。

ここで、電流I₁とI₂の方程式を求めます。そのため、等価インダクタンスL_eqを求めます：

回路を流れる総電流Iは以下と等しいとします：

したがって：

インダクタL₁について、これを流れる電流I₁は：

インダクタL₂について：

インダクタの電流分割則は、抵抗の電流分割則と同じです。

容量性回路の電流分割則

キャパシタが並列接続されているとき、電流分割則を用いて各キャパシタを流れる電流を求められます。キャパシタの電流分割則を理解するため、キャパシタが並列接続された例を考えます（下図参照）。

ここでは、2つのキャパシタ（C₁、C₂）が電圧源Vと並列接続されています。キャパシタC₁を流れる電流はI₁、C₂を流れる電流はI₂。電源から供給される総電流はIです。

ここで、電流I₁とI₂の方程式を求めます。そのため、等価静電容量C_eqを求めます：

C_eq = C₁ + C₂

キャパシタを流れる電流の方程式、および電源から供給される総電流の方程式は：

キャパシタC₁について、これを流れる電流I₁は：

キャパシタC₂について：

キャパシタの電流分割則は、インダクタと抵抗の電流分割則とはわずかに異なります。

キャパシタの電流分割則では、キャパシタを流れる電流は、総電流にそのキャパシタンスを乗じて総静電容量で割った比になります。

AC/DC回路のCDR解決例

DC回路の電流分割則

例1

与えられたネットワークについて、電流分割則を用いて各抵抗を流れる電流を求めてください。

この例では、3つの抵抗が並列接続されています。まず等価抵抗を求めます。

R_eq = 100/17

R_eq = 5.882 Ω

電源から供給される総電流はIです。オームの法則により：

V = I R_eq

50V = I (5.882Ω)

I = 50V / 5.882Ω

I = 8.5 A

第1抵抗（10Ω）に電流分割則を適用し、これを流れる電流をI₁とします：

ここではR₂とR₃が並列接続されています。R₂とR₃の等価抵抗を求めます：

(R₂ || R₃) = 14.285 Ω

I₁ = 4.9999 ≈ 5 A

同様に、第2抵抗（20Ω）に電流分割則を適用し、これを流れる電流をI₂とします：

ここで：

(R₁ || R₃) = 8.33 Ω

I₂ = 2.499 ≈ 2.5 A

第3抵抗（50Ω）に電流分割則を適用し、これを流れる電流をI₃とします：

 

 

ここで：

(R₁ || R₂) = 6.66 Ω

I₃ = 1.00 A

3つの電流の合計は：

I₁ + I₂ + I₃ = 5 + 2.5 + 1 = 8.5 A

これは電源から供給される総電流と一致します。

AC回路の電流分割則

例2

下図のように抵抗とキャパシタが並列接続されたAC回路を考えます。電流分割則を用いて、抵抗とキャパシタを流れる電流を求めてください。周波数は60Hzとします。

Z_R = 200 Ω = 200∠0°Ω

Z_C = 1/(2 πfC) = 1/(2 π × 60 × (5×10^-6))

Z_C = 10⁶ / (600 π)

Z_C = 530.78 ∠-90° Ω

電流分割則によれば、抵抗を流れる電流の式は：

同様に、キャパシタを流れる電流を電流分割則で求めます：

I_C = 120 ∠0° (0.3526 ∠ 69.353°)

I_C = 42.31 ∠ 69.353°

この答えを検証したい場合、両電流を加算してください。その値は電源電流と等しくなります。

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