スピン依存ドット間結合をもつ三重量子ドットにおけるスピン偏極輸送とスピンゼーベック効果

はじめに

スピントロニクス[1–3]の開発に伴い、スピンカロリトロニクス[4、5]は過去20年間に多くの注目を集めてきました。スピントロニクスにおいて、最も魅力的な問題の1つは、電気的バイアスによって電子スピンを制御することです。スピンカロリトロニクスでは、スピン制御法は主に熱バイアスであり、システムの異なる端の間に温度勾配が適用されます。これは、スピントロニクスと熱電の組み合わせと見なされています。特に興味深いのは、電荷の対応物を伴わずに純粋なスピン電流を生成するスピンゼーベック効果（SSE）、またはスピンアップとスピンダウンの化学ポテンシャルの分割を特徴とするスピンバイアスです。これは、ナノ構造で生成された過剰な熱を利用して、熱デバイスのエネルギー消費量を減らし、パフォーマンスを向上させる方法を開きます。この種のデバイスは、キャリアのスピンの自由度を利用してシステムの温度勾配を検出するのにも効果的です。 2008年以来、SSEの観測のいくつかの大きな実験的進歩が、内田海智らによって継続的に報告されました。磁性金属[6]、強磁性絶縁体[7、8]、および強磁性金属[9]。その後、強磁性半導体[10]、磁場のある非磁性材料[11]、常磁性材料[12]、反強磁性材料[13]、金属-強磁性絶縁体界面[14]、トポロジカル絶縁体[15–17]で研究されました。 ]。

Mahanと彼の同僚は、低次元システムで一般的な透過関数のデルタのような形状が、熱電デバイスの効率を著しく向上させることを証明しました[18]。それ以来、キャリーが3次元すべてに閉じ込められているゼロ次元量子ドット（QD）[19、20]は、SSE係数（スピン熱出力）を向上させるために広く研究されてきました。無限に小さい熱バイアスによる開回路の状態[4–6]。特に、システム内に複数の伝送経路がある場合、電子は互いに干渉し、伝送機能とコンダクタンスの急激な変化を特徴とする興味深いディック[21、22]またはファノ[23、24]効果を引き起こす可能性があります。 。したがって、QDを含むさまざまなリング形状またはマルチパス構造でのSSEの調査に多くの作業が費やされてきました[25–33]。調整可能なドットレベル、クーロン相互作用、磁束、スピン軌道相互作用、ドット-鉛結合の非対称性などの豊富なパラメータにより、量子干渉プロセスの効果的な制御が可能になり、その大きさがチャージのものと同じかそれよりも高い。

さまざまな形状のトリプルQD（TQD）が実験で作成され、理論的に研究されており、安定性図、電荷整流、電荷フラストレーション、量子干渉効果、およびコヒーレントスピン制御に焦点が当てられています[34–46]。その中でも、量子干渉効果が存在するため、リング状に接続されたドットの方が興味深い[39–46]。電子伝達と比較して、熱電効果、特にSSEはTQDでほとんど研究されていません。本稿では、スピン依存のドット間結合を考慮して、TQDのSSEを調査します（図1を参照）。 QD間のトンネル接合に静磁場を印加することにより、電子スピンはラーモア歳差運動を実行し、ドット間結合はスピンに依存するようになります[47、48]。最近、振動磁場と時間的に制御されたゲート電圧を利用することにより、異なるスピン成分の電子波動関数を異なるQDに分離し、スピン分解伝達速度（結合強度）を誘導できることも提案されました[49、50]。以前のいくつかの研究では、スピン電流の生成に対するスピン依存ドット間結合の影響がすでに調査されています[51、52]。ここでは、Fanoの反共振状態を変更することで、スピンアップとスピンダウンの熱電能の位置をドットレベル空間で反対方向にシフトできることを示します。結果として100 ％ スピン偏極または純粋なスピン熱電能で、その大きさは電荷の大きさと同じくらい大きくなる可能性があります。このような効果は、スピンに依存しないドット間結合の場合とはまったく異なります[53、54]。興味深いことに、得られた結果は、ドット間結合の非常に小さなスピン偏極で満たすことができます。

三重量子ドットシステムの概略プロット。ドット間のトンネル障壁に静磁場を加えることにより、ドット間の結合はスピンに依存するようになります

モデルとメソッド

2本のリード線に接続された図1に示すTQDのハミルトニアンは、次のアンダーソンハミルトニアン[25、33、51、52]、

ここで、\（c_ {k \ beta \ sigma} ^ {\ dag} \ left（c_ {k \ beta \ sigma} \ right）\）with β = L 、 R および\（d_ {i \ sigma} ^ {\ dag} \ left（d_ {i \ sigma} \ right）\）with i =0,1,2は、それぞれ鉛の生成（消滅）演算子です-β とドット- i スピンσ 。各ドットには単一のエネルギーレベルεが含まれていると仮定します _i ドット内の電子とリードの間のクーロン相互作用を無視します。 QD-1とQD-2は、ドット間結合 t によって相互に結合されます。 _0、σ = t ₀ （1+ σ p ）およびドットリードカップリング V による左右のリード _kL および V _kR 、 それぞれ。 QD-0はQD-1とQD-2に強度 t で接続されています _{c 、σ} = t _c （1+ σ p ）、ここでσ =スピンアップ電子とスピンダウン電子の場合はそれぞれ±1。

線形応答レジームでは、無限に小さい電位差Δの下で、スピン依存の電流と熱電流を個別に書き込むことができます。 V と温度差Δ T [25、33]として左右のリード線の間

ここで e は電子の電荷であり、 T システムの平衡温度。係数 K _{n 、σ} 上記の式では、[25、33]

ここで、\（\ hbar \）は、縮小されたプランク定数μです。 リードの化学ポテンシャル、 f （ε 、μ ）=1 / {1 + exp [（ε − μ ）/ k _B T ]}ボルツマン定数 k のフェルミ分布関数 _B 。

式で。 （4）、透過係数 T _σ （ε ）各スピン成分について、[25、33] \（T _ {\ sigma}（\ varepsilon）=\ Gamma _ {L} \ Gamma _ {R} \ left | G_ {としてリタードグリーン関数の観点から取得できます。 21、\ sigma} ^ {r}（\ varepsilon）\ right | ^ {2} \）、ここで\（\ Gamma _ {L（R）} =2 \ pi \ sum _ {k} | V_ {kL（ R）} | ^ {2} \ delta \ left [\ varepsilon- \ varepsilon _ {kL（R）} \ right] \）は線幅関数です。運動方程式法を適用すると、\（G_ {21、\ sigma} ^ {r}（\ varepsilon）\）の解析形式を[55、56]

ここで、\（\ tilde {\ varepsilon} _ {1（2）} =\ varepsilon- \ varepsilon _ {1（2）} + i \ Gamma _ {L（R）} / 2 \）。次に、透過係数は[55、56]

各スピン成分の熱電能（ゼーベック係数） S _σ 電荷電流が消失する条件下で計算されます J _e = J _{e 、↑} + J _{e 、↓} =0であり、[25、33] S で与えられます。 _σ =− K _1、σ /（ e T K _0、σ ）、および電荷（スピン）熱電能は S によって与えられます _{c （ s ）} = S _↑ +（−） S _↓ 。

結果と考察

以下の数値計算では、線幅関数Γを選択します。 _L =Γ _R =Γ ₀ エネルギーの単位として=1で、μを修正します エネルギーゼロ点として=0。 e の定数 、 k _B 、および h はすべて1に設定されています。図2は、スピン依存コンダクタンス G を示しています。 _σ およびサーモパワー S _σ ドットレベルの関数としてε ₀ =ε ₁ =ε ₂ t の場合 ₀ =0、つまり、TQDは直列に接続されています。ドット間結合がスピンに依存しない場合（ p =0）、（a）と（b）のスピンアップコンダクタンスとスピンダウンコンダクタンスは同じであり、εを中心とするピークを生成します。 ₀ =0（黒い実線）。

t のコンダクタンスと熱電能 ₀ =0。スピン偏極コンダクタンス G _σ a で および b 、およびサーモパワー S _σ c で および d ドットレベルの関数としてε ₀ 固定 t の場合 ₀ =0およびドット間結合のスピン偏極の異なる値。他のパラメータはレベル離調Δです =0、温度 T =0.001、および t _c =0.3

スピン依存のドット間結合 p が存在する場合 ≠0、スピンアップコンダクタンスの単一ピーク G _↑ 図2aでは、スピンアップドット間結合が強化されているため、最大ピーク値が変更されていないトリプルピーク構成に進化しています t _{c 、↑} 。一方、 G _↓ t が小さいため、ピーク幅が減少したシングルピークパターンのままです。 _{c 、↓} 。 t の場合 _0、σ =0および同一のQDレベル（ε ₁ =ε ₂ =ε ₀ ）、式の透過係数。 （6）に減少します

εにそれぞれ位置する伝達関数には3つの共振があります =ε ₀ および\（\ varepsilon =\ varepsilon _ {0} \ pm \ sqrt {2t_ {c、\ sigma} ^ {2} + \ Gamma _ {0} ^ {2} / 4} \）。低温条件下では、εのコンダクタンスに3つの共振ピークが現れます。 ₀ =μ および\（\ varepsilon _ {0} =\ mu \ pm \ sqrt {2t_ {c、\ sigma} ^ {2} + \ Gamma _ {0} ^ {2} / 4} \）。ドット間結合が弱い場合、図2aおよびの黒い線で示されているように、3つのピークが単一ピーク構成にマージされます。ドット間スピン偏極の増加に伴い p 、 t の値 _{c 、↑} = t _c （1+ p ）が増加し、図2aに示すように、スピンアップコンダクタンスの3つのピークがエネルギー空間で分離されます。一方、 t の大きさ _{c 、↓} 小さくなり、 G _↓ 図2bでは、それに応じてシングルピークパターンのままです。式から（6） t を小さくすると、ピーク幅が狭くなることもわかります。 _{c 、↓} 。

p の場合 =0の場合、図2cおよびdの各スピン成分の熱出力は同一であり、電子正孔対称点（ε）に対して反対称です。 ₀ =0）、これは以前の作品と一致しています[33、57]。熱電効果を発生させる温度勾配が存在するため、左側のリードの温度は右側のリードの温度よりも高く、化学ポテンシャルμを超える電子が多くなります。 左のリードで。それに対応して、μの下にはさらに多くの穴があります 。 QDのエネルギーレベルがμより下（上）の場合 、主なキャリアは正孔（電子）であり、熱電能は正（負）です[57]。サーモパワーはεで符号を変更します ₀ 電子と正孔の補償により=0。 p の増加に伴い 、スピンアップサーモパワーのピーク幅 S _↑ ピーク値を下げて拡大します。一方、スピンダウンのそれは狭くなっています。興味深いことに、 S のピーク値 _↓ p を増やすことで明らかに強化されます 。 p などの大きなドット間スピン偏極の場合 =0.8、 S のピーク値 _↓ S の約10倍です _↑ スピン依存コンダクタンス G の値はほとんど変化していません _σ 。これは次のように説明できます。正の p の場合 、ドット間トンネリングレート t _{c 、↑} > t _{c 、↓} スピンアップ電子（または正孔）は、スピンダウン電子よりも速く量子ドットを通過します。それに対応して、スピンアップ電子と比較して、左（右）リードでブロックされているスピンダウン電子（正孔）が多く、温度勾配に応じてスピンダウン電圧が大きくなります。

S の違いをさらに拡大するには _↓ および S _↑ 、非常に大きな p の結果を示します 図3で、スピンアップコンダクタンス G _↑ およびサーモパワー S _↓ p の変動による影響が少ない 、これは比較のために図3aとbの挿入図で示されています。 p の増加に伴い 、スピンダウンキャリアはQDを介して輸送するのがさらに困難になり、リードに蓄積されます。したがって、 G の値 _↓ 単調に抑制されますが、 S のピーク値 _↓ は著しく拡大しており、スピン依存のドット間結合によって完全にスピン偏極した熱電能を生成するための効果的な手段を示唆しています。この結果は、SSE技術によるシステムの温度勾配の検出にも有望である可能性があります。ドット間結合が弱いと熱出力値が向上するので、次に小さい t を選択します。 _c 固定の p 図4の=0.7。この場合、スピンアップコンダクタンスとスピンダウンコンダクタンスの両方の3つの共振ピークが1つになります。 t を大きくすると、コンダクタンスのピーク幅が広がります。 _c これは以前の結果と一致しています。図4bとdは、両方の S の大きさを示しています。 _↑ および S _↓ t を減らすことで強化されます _c 。スピンダウンサーモパワーの最大値も約4 k に達する可能性があります _B / e t の場合 _c =0.02 Γ ₀ 。実験では、ドット間結合はゲート電圧またはトンネルバリアの厚さによって調整可能です。したがって、 t を変更することで、熱出力を向上させることがより実現可能になる可能性があります。 _c 固定スピン偏極 p 、通常、磁場は電場に比べて制御が難しいためです。実際、非常に小さい p で、大きな熱出力が得られる場合があります。 以下に示すように、いくつかの条件下で。

スピンダウンコンダクタンスとサーモパワー。スピンダウンコンダクタンス G _↓ a で とサーモパワー S _↓ b で 大きなドット間結合の場合1> p ≥0.9。 a の挿入図 G 用です _↑ 大きなドットレベルのレジームで、 b の挿入図 は、スピンダウンサーモパワーと比較したスピンアップサーモパワーを示します。その他のパラメータは図2のとおりです

さまざまな t のコンダクタンスと熱出力 _c 。スピン偏極コンダクタンス G _σ a で および c 、およびサーモパワー S _σ b で および d ドットレベルの関数としてε ₀ p の場合 =0.7および t のさまざまな値 _c 。その他のパラメータは図2のとおりです

QDがリング状に接続されている場合、発生するファノ効果により、コンダクタンス[46]と熱電能の特性が大幅に変化します。特に、伝達関数がゼロに近づくファノ反共振状態の周りに巨大なサーモパワーが発生します T _σ （ε ）=0完全な反射のため[25–33]。電子エネルギーの置き換えε 化学ポテンシャルによるμ 式で。 （5）、反共振状態は

これは、ドット間結合によってのみ決定され、ドットレベルεなどの他のパラメータとは無関係です。 ₁ 、ε ₂ 、温度 T またはドットリードハイブリッド行列Γ _α 。したがって、このような複雑なシステムでは、コンダクタンスと熱電量を調整するのはかなり簡単です。 μの条件下で =0の場合、反共振状態は正のεにのみ位置します。 ₀ 側。図5aおよびbは、コンダクタンスのファノ反共振谷を示しています。図5aの挿入図は、大きなドットレベル領域でのコンダクタンスのファノライン形状を示しています。 t の場合とは異なり ₀ サーモパワーのゼロ点がεにある=0 ₀ =0、 t の ₀ ≠0は反共振状態にあり、それぞれの熱出力は反対称です。 p の場合 =0の場合、両方のスピン成分の熱出力のゼロ点はεにあります。 ₀ 図5cおよびdに示すように=0.09。 p の増加に伴い 、それらは分離され、0.09の反対方向にシフトされます。ゼロ点の両側に、それぞれ正と負の値を持つブロードなピークが現れます。図5cの挿入図に示されているように、サーモパワーの値は他のドットレベルレジームでは無視できるほど小さいことに言及する価値があります。ゼロ点と熱電能のピークのシフトは、2つの興味深い結果をもたらします。 1つは100 ％です S のピーク時のスピン偏極熱電能 _↑ および S _↓ かなり大きな p によってエネルギー空間で完全に分離されています 価値。たとえば、 p については、図5cおよびdの青い一点鎖線を参照してください。 =0.4。 εの右側 ₀ =0.09、 S の値 _↓ ゼロに近づくが S _↑ 2つの鋭いピークがあります。一方、εの左側 ₀ =0.09、スピンダウンサーモパワー S _↓ S がほぼゼロの2つのピークがあります _↑ 。

t のコンダクタンスと熱出力 ₀ =1。スピン偏極コンダクタンス G _σ a で および b 、およびサーモパワー S _σ c で および d ドットレベルの関数としてε ₀ t の場合 ₀ =1、 t _c =0.3およびドット間結合のスピン偏極の異なる値 p 。 a の挿入図 および c は、それぞれ大きなドットレベル領域でのコンダクタンスと熱出力です。その他のパラメータは図2のとおりです

他の興味深い結果は、純粋なスピン熱電能、つまり S です。 _s = S _↑ − S _↓ ≠0、 S _e = S _↑ + S _↓ =0、または有限の熱バイアスの下での閉回路の純粋なスピン電流[58]。これは、同じ大きさのスピンアップとスピンダウンの熱出力の符号が反対であることを意味します。 S の大きさ _s 反対の符号を持つスピンダウンとスピンアップのサーモパワーの鋭いピークが同じεで出会うときに最大になります ₀ ドット間結合のスピン偏極を調整することにより p 。図6aに示すように、 S のゼロ点とピーク _↑ および S _↓ それぞれεの右側と左側にシフトされます ₀ =90 k _B T p による ≠0。その結果、スピンアップサーモパワーの負のピークとスピンダウンサーモパワーの正のピークがε付近に同時に出現します。 ₀ =90 k _B T 純粋なスピン熱電能を誘導します。これは通常、小さな p で発生します S の2つの狭いピークが _σ はゼロ点に非常に近く、これは図6aの p の青い一点鎖線で確認できます。 =0.02。支配的な小さなエネルギーを明確に示すために、 k を選択します _B T その中のエネルギー単位として。この純粋なスピン熱出力は、トンネル障壁に弱い磁場を印加することによって実現可能なドット間結合の非常に小さなスピン偏極で得られる可能性があることを強調します。さらに、純粋なスピン熱電能の大きさは、電荷のものと同じ大きさです（緑色の点線）。

熱電能の量子規制。 a のドットレベルによって変化する熱出力 、 b の温度 c でのレベルの離調 。その他のパラメータは p =0.02、 t ₀ =1、および t _c =0.3。 b のドットレベル および c εとして選択されます ₀ =0.09 Γ ₀ 。レベル離調Δ a で=0 および b 、および温度は T =0.001 in a および c

最後に、スピン分解された純粋なスピンと、温度 T によって変化する電荷の熱出力を示します。 およびレベル離調Δ それぞれ図6bとdにあります。ドットレベルε ₀ ファノ反共振谷に焦点を当てるために0.09として選択されています。図6bは、低温での S _↑ および S _↓ 実線と破線で示される反対の符号のピークを生成し、非常に大きな純粋なスピン熱出力をもたらします S _s （青い一点鎖線）。ここで、充電サーモパワー S _e 緑の点線で示されているように、非常に小さくすることができます。温度が上昇すると、ファノ効果はキャリアのランダムな熱運動によって破壊され、 S のピークになります。 _σ にじんでいます。その結果、 S の違い _↑ および S _↓ は区別できず、純粋なスピン熱出力はゼロに近づきます。図6dは、純粋なスピン熱出力がドットレベルΔの違いに対してロバストであることを示しています。 。これは、式（1）の結果と一致しています。 （7）ファノ反共振状態はドット1と2から独立していること。

結論

結論として、スピン依存のドット間結合で直列または円形に接続されたTQDの電気コンダクタンスと熱電能の特性を研究しました。 100 ％の生成に特に注意が払われています スピン偏極した純粋なスピン熱電能。前者は、ドットが互いにかなり強く結合している場合、十分に大きなドット間結合スピン偏極を備えたシリアルTQD構成で実現できることがわかります。一方、ドットが弱く結合している場合、巨大な100 ％ スピン偏極熱出力は、非常に小さなドット間結合スピン偏極の下で実現できます。ドットが円形の場合、サーモパワーは反対称であり、ファノの反共振状態の周りでサーモパワーが鋭いピークを示します。ドット間結合のスピン偏極を変更することにより、スピンアップおよびスピンダウン熱出力のピークは、量子ドットレベル領域で反対方向にシフトします。今度は100 ％ スピン偏極した純粋なスピン熱出力は、非常に簡単な方法で実現できます。現在の結果は、ドット間結合のスピン偏極の値が小さい場合に得られます。これは、実験に適しています。