スター・デルタ（Y-Δ）変換マスター：電気ネットワークを簡略化

スター-デルタ変換とデルタ-スター変換 – Y-Δ変換

電気ネットワークでは、インピーダンスをさまざまな構成で接続できます。最も一般的なのはスター接続またはデルタ接続ネットワークです。複雑な電気ネットワークを解析・簡略化するために、スター-デルタ変換技術を使用します。これにより、任意のスター接続ネットワークを等価なデルタ接続ネットワークに、またはその逆も置き換えることができます。スター接続負荷とデルタ接続負荷間の負荷変換について、簡潔な公式導出を提供します。

スター・デルタ変換

直列、並列、またはそれらの組み合わせ接続の基本は知られていますが、Y-Δはコンポーネントのもう少し複雑な構成です。3相ネットワークには3本のワイヤーがあり、通常ネットワークはスターおよびデルタ構成で接続されます。3相電源またはいずれかの構成で接続された負荷を、その等価な対応物に変換できます。このような変換を使用して、複雑な電気ネットワークの回路解析に必要な数学的計算を簡略化します。

デルタ接続ネットワーク

デルタ接続ネットワークは、3つのネットワークブランチまたはインピーダンスが、隣接ブランチのテイルにヘッドが接続されるようにループを形成して接続されたときに形成されます。結果として得られるネットワークは三角形を形成し、ギリシャ文字デルタ「Δ」に似ているためこの名前が付けられました。ブランチを再配置するとπ（パイ）ネットワークとも呼ばれます。詳細は前回の記事「デルタ接続」を参照してください。

スター接続ネットワーク

スター接続ネットワークは、3つのブランチまたはインピーダンスが共通点で接続されたときに形成されます。ブランチネットワークの他端はフリーです。結果として得られる形状は文字「Y」に似ているため、「Y」または「ワイ」接続ネットワークとも呼ばれます。ネットワークブランチを再配置すると「T」接続ネットワークとしても知られます。詳細は前回の記事「スター接続」を参照してください。

上記回路は以下の変換を使用して変換できます。変換中、端子A、B、Cは同じ位置に保持され、インピーダンスとその配置のみが変更されます。以下の図はこの記述を示しています。

デルタ→スター変換

デルタ接続ネットワークを電気公式のセットを使用してスター構成に変換できます。各インピーダンスの方程式を導出しましょう。

与えられた図は、端子A、B、Cを持ち、インピーダンスR₁、R₂、R₃を持つデルタネットワークを示しています。等価スター接続ネットワークはR_A、R_B、R_Cで、図示の通り対応する端子に接続されています。

前述の通り、端子A、B、Cは同じ位置に保持され、それらの間のインピーダンスも同じでなければなりません。

デルタネットワークにおけるA-B間の総インピーダンス：

同様に端子B-C間のインピーダンス：

同様に端子A-C間のインピーダンス：

スターネットワークによれば：

R_AB = R_A + R_B

R_BC = R_B + R_C

R_AC = R_A + R_C

式(i)、(ii)、(iii)を加算：

式(i)、(ii)、(iii)を式(iv)から順に減算：

まず(ii)を(iv)から減算：

同様に(i)と(iii)を(iv)から減算：

導出されたスター等価インピーダンスR_A、R_B、R_Cの式から、デルタ→スター変換の関係として、等価スターインピーダンスは隣接するデルタインピーダンスの積を、その端子に対応するもので、すべての3つのデルタインピーダンスの和で割ったものに等しいと結論付けられます。

デルタネットワーク内のすべての3つのインピーダンスが同一の場合、等価スターインピーダンスは：

デルタネットワーク全体でインピーダンスがすべて等しいため、3つの等価スター抵抗はそれぞれデルタインピーダンスの1/3倍になります。

スター→デルタ変換

次に、スター接続インピーダンスをデルタ接続インピーダンスに変換します。スター→デルタ変換に使用される方程式を導出しましょう。

与えられた図は、スター接続インピーダンスR_A、R_B、R_Cを示しています。必要なデルタ等価インピーダンスは、図示の通りR₁、R₂、R₃です。

等価デルタ抵抗を求めるため、前の式(v)と(vi)、(vi)と(vii)、(v)と(vii)をそれぞれ乗算します。

(v)と(vi)を乗算：

同様に(vi)と(vii)、(v)と(vii)を乗算：

式(viii)、(ix)、(x)を加算：

個々の等価デルタインピーダンスを得るため、式(xi)を(v)、(vi)、(vii)でそれぞれ除算します：

(xi)を(v)で除算：

同様に式(xi)を(vi)と(vii)で別々に除算：

与えられた式から、スター→デルタ等価インピーダンスの関係は明確です。すべてのスターインピーダンスの2乗積の和を、対応する端子のスターインピーダンスで割ったものが、反対側の端子に接続されたデルタインピーダンスに等しいです。

式を簡略化すると：

すべてのスターインピーダンスが等しい場合、等価デルタインピーダンスは：

前の式を使用して：

この式は、各等価デルタインピーダンスがスターインピーダンスの3倍に等しいことを示しています。